洛谷P4725 【模板】多项式对数函数

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4725

注释：

$e^x$与$ln(1-x)$的麦克劳林级数：

$e^x=\sum_{i=0}\frac{x^i}{i!}$

$ln(1-x)=-\sum_{i=1}\frac{x^i}{i}$

多项式ln,exp就是用这个定义的

以及，在求ln(y)时的注意点：

令1-x=y，x=1-y，如果y的常数项不为1，那么x的常数项一定不为0。ln(y)=ln(1-x)=$-\sum_{i=1}\frac{x^i}{i}$

x的常数项a对于式子的右侧产生的贡献是$-\sum_{i=1}\frac{a^i}{i}=ln(1-a)$（或者说ln(y)的常数项是这个），当a不为0时这个东西模意义下一般都没办法算

做法：看题解 https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4725

设G(x)=ln(F(x))

两边同时求导，得$G'(x)=ln'(F(x))F'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}$

这样可以求出G'(x)，积分后得到G(x)除常数项之外的项

常数项怎么办？

根据”注释“的最后一句，G(x)常数项等于模意义下ln(F(x)的常数项)，反正F的常数项不为1时，我不会算；刚好题目保证F的常数项为1，那么G(x)常数项就是0

版本2：基于版本2

  1 #prag\
  2 ma GCC optimize(2)
  3 #include<cstdio>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<vector>
  7 #include<cmath>
  8 using namespace std;
  9 #define fi first
 10 #define se second
 11 #define mp make_pair
 12 #define pb push_back
 13 typedef long long ll;
 14 typedef unsigned long long ull;
 15 const int md=998244353;
 16 const int N=262144;
 17 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 18 int rev[N];
 19 void init(int len)
 20 {
 21     int bit=0,i;
 22     while((1<<(bit+1))<=len)    ++bit;
 23     for(i=0;i<len;++i)
 24         rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
 25 }
 26 ull poww(ull a,ull b)
 27 {
 28     ull base=a,ans=1;
 29     for(;b;b>>=1,base=base*base%md)
 30         if(b&1)
 31             ans=ans*base%md;
 32     return ans;
 33 }
 34 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 35 {
 36     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
 37     for(i=0;i<len;++i)
 38         if(i<rev[i])
 39             swap(a[i],a[rev[i]]);
 40     for(i=1;i<len;i<<=1)
 41     {
 42         wn=poww(idx==1?3:332748118,(md-1)/(i<<1));
 43         for(j=0;j<len;j+=(i<<1))
 44         {
 45             wnk=1;
 46             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
 47             {
 48                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
 49                 a[k]+=t2;
 50                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
 51                 a[k+i]=t1-t2;
 52                 (a[k+i]<0) && (a[k+i]+=md);
 53             }
 54         }
 55     }
 56     if(idx==-1)
 57     {
 58         ull ilen=poww(len,md-2);
 59         for(i=0;i<len;++i)
 60             a[i]=a[i]*ilen%md;
 61     }
 62 }
 63 int t1[N],t2[N],t3[N];
 64 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2^(ceil(log2(len))+1)(需要足够长用于临时存放元素) ;要求len是2的幂
 65 {
 66     g[0]=poww(f[0],md-2);
 67     for(int i=2,j;i<(len<<1);i<<=1)
 68     {
 69         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
 70         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
 71         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 72         init(i);
 73         dft(t1,i,1);dft(t2,i,1);
 74         for(j=0;j<i;++j)
 75             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 76         dft(t1,i,-1);
 77         for(j=0;j<(i>>1);++j)
 78             t1[j]=t1[j+(i>>1)];
 79         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 80         dft(t1,i,1);
 81         for(j=0;j<i;++j)
 82             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 83         dft(t1,i,-1);
 84         for(j=i>>1;j<i;++j)
 85             delto(g[j],t1[j-(i>>1)]);
 86     }
 87 }
 88 int inv[300011];
 89 inline void p_de(int *f,int len)//derivative求导;f=f'
 90 {
 91     for(int i=0;i<len-1;++i)
 92         f[i]=ll(i+1)*f[i+1]%md;
 93     f[len-1]=0;
 94 }
 95 inline void p_in(int *f,int len)//integral积分;f=?f
 96 {
 97     for(int i=len-1;i>=1;--i)
 98         f[i]=ll(f[i-1])*inv[i]%md;
 99     f[0]=0;
100 }
101 void p_ln(int *f,int len)//要求len为2的幂
102 {
103     p_inv(f,t3,len);p_de(f,len);
104     init(len<<1);
105     dft(f,len<<1,1);dft(t3,len<<1,1);
106     for(int i=0;i<(len<<1);++i)
107         f[i]=ull(f[i])*t3[i]%md;
108     dft(f,len<<1,-1);p_in(f,len);
109 }
110 int a[N<<1];
111 int n,n1;
112 int main()
113 {
114     int i,t;
115     inv[1]=1;
116     for(i=2;i<=300000;++i)
117         inv[i]=ull(md-md/i)*inv[md%i]%md;
118     scanf("%d",&n);n1=n;
119     for(i=0;i<n;++i)
120         scanf("%d",a+i);
121     for(t=1;t<n;t<<=1);
122     n=t;
123     p_ln(a,n);
124     for(i=0;i<n1;++i)
125         printf("%d ",a[i]);
126     return 0;
127 }

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版本3：基于版本3

  1 #prag\
  2 ma GCC optimize(2)
  3 #include<cstdio>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<vector>
  7 #include<cmath>
  8 using namespace std;
  9 #define fi first
 10 #define se second
 11 #define mp make_pair
 12 #define pb push_back
 13 typedef long long ll;
 14 typedef unsigned long long ull;
 15 const int md=998244353;
 16 const int N=262144;
 17 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 18 int rev[N];
 19 void init(int len)
 20 {
 21     int bit=0,i;
 22     while((1<<(bit+1))<=len)    ++bit;
 23     for(i=0;i<len;++i)
 24         rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
 25 }
 26 ull poww(ull a,ull b)
 27 {
 28     ull base=a,ans=1;
 29     for(;b;b>>=1,base=base*base%md)
 30         if(b&1)
 31             ans=ans*base%md;
 32     return ans;
 33 }
 34 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 35 {
 36     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
 37     for(i=0;i<len;++i)
 38         if(i<rev[i])
 39             swap(a[i],a[rev[i]]);
 40     for(i=1;i<len;i<<=1)
 41     {
 42         wn=poww(idx==1?3:332748118,(md-1)/(i<<1));
 43         for(j=0;j<len;j+=(i<<1))
 44         {
 45             wnk=1;
 46             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
 47             {
 48                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
 49                 a[k]+=t2;
 50                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
 51                 a[k+i]=t1-t2;
 52                 (a[k+i]<0) && (a[k+i]+=md);
 53             }
 54         }
 55     }
 56     if(idx==-1)
 57     {
 58         ull ilen=poww(len,md-2);
 59         for(i=0;i<len;++i)
 60             a[i]=a[i]*ilen%md;
 61     }
 62 }
 63 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2len(需要足够长用于临时存放元素) ;要求len是2的幂
 64 {
 65     static int t1[N],t2[N];
 66     g[0]=poww(f[0],md-2);
 67     for(int i=2,j;i<(len<<1);i<<=1)
 68     {
 69         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
 70         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>1));
 71         memset(t2+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 72         init(i);
 73         dft(t1,i,1);dft(t2,i,1);
 74         for(j=0;j<i;++j)
 75             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 76         dft(t1,i,-1);
 77         for(j=0;j<(i>>1);++j)
 78             t1[j]=t1[j+(i>>1)];
 79         memset(t1+(i>>1),0,sizeof(int)*(i>>1));
 80         dft(t1,i,1);
 81         for(j=0;j<i;++j)
 82             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
 83         dft(t1,i,-1);
 84         for(j=i>>1;j<i;++j)
 85             g[j]=md-t1[j-(i>>1)];
 86     }
 87 }
 88 int inv[300011];
 89 inline void p_de(int *f,int len)//derivative求导;f=f'
 90 {
 91     for(int i=0;i<len-1;++i)
 92         f[i]=ll(i+1)*f[i+1]%md;
 93     f[len-1]=0;
 94 }
 95 inline void p_in(int *f,int len)//integral积分;f=?f
 96 {
 97     for(int i=len-1;i>=1;--i)
 98         f[i]=ll(f[i-1])*inv[i]%md;
 99     f[0]=0;
100 }
101 void p_ln(int *f,int len)//要求len为2的幂
102 {
103     static int t3[N];
104     p_inv(f,t3,len);p_de(f,len);
105     init(len<<1);
106     dft(f,len<<1,1);dft(t3,len<<1,1);
107     for(int i=0;i<(len<<1);++i)
108         f[i]=ull(f[i])*t3[i]%md;
109     dft(f,len<<1,-1);p_in(f,len);
110 }
111 int a[N<<1];
112 int n,n1;
113 int main()
114 {
115     int i,t;
116     inv[1]=1;
117     for(i=2;i<=300000;++i)
118         inv[i]=ull(md-md/i)*inv[md%i]%md;
119     scanf("%d",&n);n1=n;
120     for(i=0;i<n;++i)
121         scanf("%d",a+i);
122     for(t=1;t<n;t<<=1);
123     n=t;
124     p_ln(a,n);
125     for(i=0;i<n1;++i)
126         printf("%d ",a[i]);
127     return 0;
128 }

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