剪绳子

题目：

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58

 

解答：

这道题要考虑两种解法，动态规划和贪心，一般贪心的效率要高于动态规划，因为贪心能进一步减少递推次数：

动态规划：

设dp[i]为长度为n的绳子能够得到的最大乘积，往前一步，dp[i]可以由dp[i-j]，0<j<i，所得到，且dp[i-j]*j；但要考虑到还有一种情况就是dp[i]可以由(i-j)*j所得；综上可以得到状态转移方程：dp[i]=max(max(dp[i]，dp[i-j]*j)，(i-j)*j)，其中0<j<i；边界条件：dp[1] = 1，dp[2] = 1；

public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        int [] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i] = Math.max(Math.max(dp[i], dp[i-j] * j), (i-j)*j);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

 

贪心策略:

贪心策略需要你提前找出题目解的规律，但一般这个规律不是那么明显：

 * 4 ： 2*2

 * 5 ： 2*3

 * 6 ： 3*3

 * 7 ： 2*2*3 或者4*3

 * 8 ： 2*3*3

 * 9 ： 3*3*3

 * 10：2*2*3*3 或者4*3*3

 * 11：2*3*3*3

 * 12：3*3*3*3

 * 13：2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

可以看到所有的问题的解都符合3和2的乘积形式，其中3要尽可能的多，至于4可以看作2*2，所以题目就转化为将n进行拆分成3和2，其中3尽可能多，这样的求解。

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2){
            return 1;
        }
        if(n == 3){
            return 2;
        }
        int m = n;
        int n2 = 0, n3 = 0;
        //找出n可以被拆分出的3和2的个数,3要尽可能多,2作为额外填充,保证一定被拆完
        //如n=10,则有10=3*3*2*2
        //首先看能不能被3正好拆分,然后再看能不能被3拆完后接下来能不能用2继续拆完
        //如果不能那么少拆一个3,以确保能被2拆完
        if (n % 3 % 2 == 0){
            n3 = n / 3;
        } else {
            n3 = (n / 3) - 1;
        }
        n2 = (n - 3 * n3) / 2;
        //最终结果为拆出来的所有的3和2的乘积
        return (int) Math.pow(3, n3) * (int) Math.pow(2, n2);
    }
}