递归思想

有一天，寺院的僧人们开始研究这个汉诺塔的问题，由于64个大铁盘子实在是太多了，住持一时之间也无从下手。

于是他出了一个主意，先假设现在的盘子数量是4个，三根柱子分别为A，B，C，目标是将A柱子上的4个盘子移动到C上。僧人们松了一口气，解决这个4阶的汉诺塔移动问题总比64阶要简单些。

首先聪明的僧人A想到了，将A柱子最顶上的3个盘子移动到B上，接着将A柱子最底下最大的盘子挪到C上，最后再将B柱子上的所有盘子挪到C上。

1. 盘子123，从A到B
2. 盘子4，从A到C
3. 盘子123，从B到C

众人纷纷夸奖僧人A，但是现在又出现了两个问题。怎么将A柱子最顶上的3个盘子挪到B上呢？怎么最后将B上的盘子挪到C上呢？（相当于解决一个3阶的从A柱挪到B柱的汉诺塔问题）

针对第一个问题，这时候僧人B站了出来，他说，请大家忽略盘子4，将A柱子上最顶上的2个盘子挪到C上，将A柱子最底下最大的盘子3挪到B，最后再将C柱子上所有盘子挪到B上。

1. 盘子12，从A到C
2. 盘子3，从A到B
3. 盘子12，从C到B

那么现在问题又来了，怎么将A柱子最顶上的2个盘子挪到C上呢？僧人C发表了他的意见，请大家不要考虑盘子3，将A柱子上最顶上的1个盘子挪到B上，将A柱子最底下最大的盘子2挪到C，最后再将B柱子上所有盘子挪到C上。（相当于解决一个2阶的从A柱挪到C柱的汉诺塔问题）

1. 盘子1，从A到B
2. 盘子2，从A到C
3. 盘子1，从B到C

至此，可以看出，每一个大问题被分解成三个步骤（小问题），而每一个小问题又分成三个步骤。从每层问题的相似性得出了一个规律，在每层问题第一个步骤里，当挪动n-1个盘子时，B柱会跟C柱产生调换的情况（相当于一个n-1阶的从A柱到B柱的汉诺塔问题），同理，在每层问题第三个步骤里，当挪动n-1个盘子时，B柱会跟A柱产生调换的情况（相当于一个n-1阶的从B柱到C柱的汉诺塔问题）。

个人理解，递归的思想，就是将一个大问题分解成许多层小问题，每层之间遵循一定的规律性，每次只解决当前层的问题，其余问题交给下一层的人去解决，逐层下去，最终在最后一个人手上得到最终答案。

 

递归问题：使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。

尾递归优化：

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。