取模意义下的对数&生成元的查找

取模意义下的对数&生成元(原根)的查找

取模意义下的对数

取模意义下的对数一般用在转化ntt式内的乘法成加法
贯穿这一块的一句话同时也是最难理解的一句话:素数p的乘法群同构与p-1的加法群
例如:
\(Z*_{13}\) 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 (素数13的乘法群)
\(Z+_{12}\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (素数13-1的加法群)
可以发现\(Z*_{13}\)中两个数做乘法的结果对应\(Z+_{12}\)中两个数做加法的结果
乘法同构与加法容易想到对数运算
可以发现我们要得到一个素数的乘法群需要知道它的原根，原根不知道的同学可以补习一下，内容不多。
如果知道了原根应该就能理解取模意义下的对数怎么弄了
例子中是用2作为生成元也就是13的原根，生成了这个数列，既然和\(Z+_{12}\)同构，就可以表示对数了
举个例子，13的乘法群中3是由2的4次方模上13得到的，同构出来则是
在模13意义下：\(log_{2}3 = 4 mod 12\)
这样子我们就可以对取模意义下的对数进行运算了
但是，底数不是生成元，也就是不是原根的时候是没法进行对数运算的，因为没法构造出1到p-1所有的数
同理，所以换底公式需要分母的对数和底数都是生成元。

生成元(原根)的查找

一般题目里面给的模数如果需要你求原根的话原根都会非常小，我们直接暴力求即可
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
template<class T>
void rea(T &x)
{
	char ch=getchar();int f(0);x = 0;
	while(!isdigit(ch)) {f|=ch=='-';ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x = f?-x:x;
}
int ksm(int x, int k, int mod)
{
	int ret = 1;
	while(k)
	{
		if(k&1) ret = 1ll*ret*x%mod;
		x = 1ll*x*x%mod;
		k >>= 1;
	}
	return ret;
}
int getG(int mod)
{
	int prime[10000], tot = 0;
	int num = mod-1;
	for(R int i = 2; i*i <= num; ++i)
		if(num%i == 0)
		{
			prime[++tot] = i;
			while(num%i == 0) num /= i;
		}
	if(num > 1) prime[++tot] = num;
	num = mod-1;
	for(R int i = 2; i <= num; ++i)
	{
		bool ban = 0;
		for(R int j = 1; j <= tot; ++j) 
			if(ksm(i, num/prime[j], mod) == 1) { ban = 1; break; }
		if(!ban) return i;
	}
	return false;
}
int main()
{
	int mod = 1004535809;
	printf("%d\n", getG(mod));
	return 0;
}