luogu1966 火柴排队
题目大意
涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为: $\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2$,其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。 每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
题解
预备知识
- 因为任何a火柴的交换效果都与b交换火柴相同,所以我们只让b火柴移动。
- 通过邻项交换的方法,我们可以得到一个序列的任意一个排列。
贪心
我们让序列$b$序列变换后的结果序列称为$b'$。那么对$\forall i$,$a_i$在$a$中的大小排名与$b'_i$在$b'$中的相同。
证明为邻项交换。如果$a_1$与$b_1$配对,$a_2$与$b_2$配对,$a_1\leq a_2, b_1 \leq b_2$,则这样得到的结果,比$a_1$和$b_2$、$a_2$和$b_1$配对得到的结果小。为了表示方便,我们令$x=a_1,y=b_1,a_2=x+k,b_2=y+t$,则前者的结果为$$(x-y)^2+(x+k-b-t)^2$$,后者结果为$$(a-b-t)^2+(a+k-b)^2$$。后者减去前者得到的结果为$$2kt$$,恒大于0。故原命题成立。
如何得到$b'$?
$b'$的要求是如果将$a$排序的变换为$f(a)$,则$f(b')$得到的序列也是递增的。也就是说,我们要得到$b'$,要先将$b$排序得到$b''$,随后$f^{-1}(b'')=b'$。那么达到$f^{-1}$的方法便是将$a$排序后的rank为下标,原来的id为值得到一个数组,随后将每个$b''$移到对应的id位置去即可。
那么要交换多少次呢?
即为逆序对数。用树状数组解决即可。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 | #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long const int MAX_N = 100010; const ll P = 99999997; int N; int NewId_OrgId[MAX_N]; struct BIT { private : ll C[MAX_N]; int Lowbit( int x) { return x & -x; } public : void Update( int p, ll delta) { while (p <= N) { C[p] += delta; p += Lowbit(p); } } ll Query( int p) { ll ans = 0; while (p > 0) { ans += C[p]; p -= Lowbit(p); } return ans; } }g; struct Node { int Id, Val; bool operator < ( const Node &a) const { return Val < a.Val; } }A[MAX_N], B[MAX_N], B1[MAX_N]; int main() { scanf ( "%d" , &N); for ( int i = 1; i <= N; i++) A[i].Id = B[i].Id = i; for ( int i = 1; i <= N; i++) scanf ( "%d" , &A[i].Val); for ( int i = 1; i <= N; i++) scanf ( "%d" , &B[i].Val); sort(A + 1, A + N + 1); for ( int i = 1; i <= N; i++) NewId_OrgId[i] = A[i].Id; sort(B + 1, B + N + 1); for ( int i = 1; i <= N; i++) B1[NewId_OrgId[i]] = B[i]; ll ans = 0; for ( int i = N; i >= 1; i--) { ans = (ans + g.Query(B1[i].Id - 1)) % P; g.Update(B1[i].Id, 1); } printf ( "%lld\n" , ans); return 0; } |
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