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luogu1966 火柴排队

题目大意

  涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为: $\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2$,其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。 每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

题解

预备知识

  • 因为任何a火柴的交换效果都与b交换火柴相同,所以我们只让b火柴移动。
  • 通过邻项交换的方法,我们可以得到一个序列的任意一个排列。

贪心

  我们让序列$b$序列变换后的结果序列称为$b'$。那么对$\forall i$,$a_i$在$a$中的大小排名与$b'_i$在$b'$中的相同。

  证明为邻项交换。如果$a_1$与$b_1$配对,$a_2$与$b_2$配对,$a_1\leq a_2, b_1 \leq b_2$,则这样得到的结果,比$a_1$和$b_2$、$a_2$和$b_1$配对得到的结果小。为了表示方便,我们令$x=a_1,y=b_1,a_2=x+k,b_2=y+t$,则前者的结果为$$(x-y)^2+(x+k-b-t)^2$$,后者结果为$$(a-b-t)^2+(a+k-b)^2$$。后者减去前者得到的结果为$$2kt$$,恒大于0。故原命题成立。

如何得到$b'$?

  $b'$的要求是如果将$a$排序的变换为$f(a)$,则$f(b')$得到的序列也是递增的。也就是说,我们要得到$b'$,要先将$b$排序得到$b''$,随后$f^{-1}(b'')=b'$。那么达到$f^{-1}$的方法便是将$a$排序后的rank为下标,原来的id为值得到一个数组,随后将每个$b''$移到对应的id位置去即可。

那么要交换多少次呢?

  即为逆序对数。用树状数组解决即可。

  

posted @   headboy2002  阅读(145)  评论(0编辑  收藏  举报
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