luogu3084 Photo 单调队列优化DP
题目大意
农夫约翰决定给站在一条线上的N(1 <= N <= 200,000)头奶牛制作一张全家福照片,N头奶牛编号1到N。于是约翰拍摄了M(1 <= M <= 100,000)张照片,每张照片都覆盖了连续一段奶牛:第i张照片中包含了编号a_i 到 b_i的奶牛。但是这些照片不一定把每一只奶牛都拍了进去。在拍完照片后,约翰发现了一个有趣的事情:每张照片中都有且仅有一只身上带有斑点的奶牛。约翰意识到他的牛群中有一些斑点奶牛,但他从来没有统计过它们的数量。 根据照片,请你帮约翰估算在他的牛群中最多可能有多少只斑点奶牛。如果无解,输出“-1”。
题解
状态的设计
我一开始看见了区间,便老是往数据结构那里想,花费了很长时间;后来想到了动规,希望用f(i, j)来表示前i头牛、前j张照片中最多会有多少斑点牛,却发现这样的决策具有后效性。
避免后效性的方法便是增加限制条件。我们让f(i)指第i头牛是有斑点的情况下前i头奶牛中最多会有多少斑点牛即可。
状态的转移
本题的难点之一在于可以转移的转移的状态范围不固定。i的前一头斑点牛必须在i所在任何区间的左侧,而且它要么被在i所在的左端点最靠左的区间a的相邻左侧的区间b内,要么位于a与b间不被区间包含的部分中。因此,可以转移到i的状态组成了一个区间[_cows[i].PrevL, _cows[i].PrevR]。PrevR便是a的左端点-1,PrevL便是b的左端点。因此递归式为f(i) = max(f[j]+1|j∈[_cows[i].PrevL, _cows[i].PrevR])。由于转移来源是个区间,所以我们可以用单调队列来优化。
PrevL, PrevR的求法
这是一个极其新颖的做法:若我们知道一个序列是单调不减的,有很多元素都重复,那么我们可以把序列中值开始变化的分界点的值求出来,然后从前到后或从后往前扫描一遍即可求出这个序列。
我们知道随着i的递增, _cows[i].PrevL,PrevR都是递增的。那么分界点在哪里呢?若PrevL变化,则i在一个区间的右端点+1处;若PrevR变化,则i在一个区间的右端点处。由于取min和取max的区别,我们PrevL从左到右扫描,PrevR从右到左扫描。
注意我们以上都没有提到“区间的左端点”这个位置,因为区间的左端点可能并不是PrevL的分界点,因为若该区间左侧有一段空白,PrevL不变。另外PrevR的分界点可能会漏掉,因为一段区间右端点以后不一定紧跟另一个区间的左端点。
最后输出的结果
错误求法是DP完后,对所有i取最大值。结果是会漏掉-1的情况。原因是F[i]指考虑负责包含[1, i]这些点的区间,以后的区间没有考虑。若最大值是在前面取的,一些右面的区间可就没有对应的点喽!
正确的做法是后部增加一个奶牛,求它的F值就对了。这样也可以迅速得知-1的情况。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int MAX_RANGE_CNT = 100010, MAX_ID = 200010, MINF = 0xcfcfcfcf; int TotId, TotRange; int F[MAX_ID]; struct Range { int L, R; bool operator < (const Range& a) const { return L < a.L; } }_ranges[MAX_RANGE_CNT]; struct Cow { int PrevL, PrevR; }_cows[MAX_ID]; struct SlideWindow { private: struct Queue { private: int A[MAX_ID]; int Head, Tail; public: Queue():Head(0), Tail(0){} void push_back(int x) { A[Tail++] = x; } void pop_back() { Tail--; } int back() { return A[Tail - 1]; } void pop_front() { Head++; } int front() { return A[Head]; } bool empty() { return Head == Tail; } }IdQ; int Tail; public: SlideWindow(): Tail(-1){} int Move(int tail, int len) { while (Tail < tail) { Tail++; int head = Tail - len + 1; while (!IdQ.empty() && IdQ.front() < head) IdQ.pop_front(); while (!IdQ.empty() && F[IdQ.back()] < F[Tail]) IdQ.pop_back(); IdQ.push_back(Tail); } if (len <= 0) return MINF; return F[IdQ.front()]; } int GetMax() { return F[IdQ.front()]; } }; void Read() { scanf("%d%d", &TotId, &TotRange); for (int i = 1; i <= TotRange; i++) scanf("%d%d", &_ranges[i].L, &_ranges[i].R); TotId++; } int NoAns; void SetCoverL() { sort(_ranges + 1, _ranges + TotRange + 1); for (int i = 1; i <= TotId; i++) _cows[i].PrevR = i - 1; for (int i = 1; i <= TotRange; i++) { _cows[_ranges[i].R].PrevR = min(_cows[_ranges[i].R].PrevR, _ranges[i].L - 1); _cows[_ranges[i].R + 1].PrevL = max(_cows[_ranges[i].R + 1].PrevL, _ranges[i].L); } for (int i = 2; i <= TotId; i++) _cows[i].PrevL = max(_cows[i].PrevL, _cows[i - 1].PrevL); for (int i = TotId - 1; i >= 1; i--) _cows[i].PrevR = min(_cows[i].PrevR, _cows[i + 1].PrevR); } int DP() { memset(F, MINF, sizeof(F)); F[0] = 0; static SlideWindow g; for (int i = 1; i <= TotId; i++) { F[i] = g.Move(_cows[i].PrevR, _cows[i].PrevR - _cows[i].PrevL + 1) + 1; } return F[TotId] < 0 ? -1 : F[TotId] - 1; } int main() { Read(); SetCoverL(); printf("%d\n", DP()); return 0; }