luogu2024 食物链
题目大意
动物王国中有三类动物 A,B,C,这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B,B吃 C,C 吃 A。现有 N 个动物,以 1 - N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种,但是我们并不知道它到底是哪一种。有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述:第一种说法是“1 X Y”,表示 X 和 Y 是同类。第二种说法是“2 X Y”,表示 X 吃 Y 。此人对 N 个动物,用上述两种说法,一句接一句地说出 K 句话,这 K 句话有的是真的,有的是假的。当一句话满足下列三条之一时,这句话就是假话,否则就是真话。
• 当前的话与前面的某些真的话冲突,就是假话
• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大,就是假话
• 当前的话表示 X 吃 X,就是假话
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话,输出假话的总数。
题解
这道题我们用到了带权并查集。这种并查集的权值满足叠加性,也就是唯一存在一个函数f(a,b),使得结点cur与cur->Father->Father的关系=f(cur与cur->Father的关系,cur->Father与cur->Father->Father的关系)。这道题中,我们发现f(a吃b,b吃c)=a被吃c;f(a吃b,b被吃c)=a同类c;f(a被吃b,b同类c)=a吃c。我们令“吃”为1,“被吃”为2,“同类”为0,f(a,b)=(a+b)%3正好满足该要求。所以我们按照顺序尝试将命题涉及的两个动物加入并查集中,并判断是否为假话即可。
以下我们将cur与cur->Father的关系简称为cur->ToFaRel。首先,如何压缩路径?明确情况:当FindRoot(cur->Father)后,cur->Father->Father==root。此时我们要让cur->Father=root。由f的定义,可得新的cur->ToFaRel = f(cur->ToFaRel, cur->Father->ToFaRel)。
那么如何将两个集合合并呢?明确情况,结点a->Father==a的Root,b->Father==b的Root。明确目的,我们要让a->Father->Father=b->Father。由f的定义,a与b->Father的关系等于f(a与b的关系,b与b->Father的关系)=f(a与a->Father的关系,a->Father与b->Father的关系)。所以a->Father->ToFaRel = Rel(a,b)+b->ToFaRel-a->ToFaRel。判断是否合法也同理。
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