luogu2024 食物链

题目大意

　　动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B吃 C，C 吃 A。现有 N 个动物，以 1 － N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：第一种说法是“1 X Y”，表示 X 和 Y 是同类。第二种说法是“2 X Y”，表示 X 吃 Y 。此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话

• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话

• 当前的话表示 X 吃 X，就是假话

你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。

题解

　　这道题我们用到了带权并查集。这种并查集的权值满足叠加性，也就是唯一存在一个函数f(a,b)，使得结点cur与cur->Father->Father的关系=f(cur与cur->Father的关系，cur->Father与cur->Father->Father的关系)。这道题中，我们发现f(a吃b，b吃c)=a被吃c；f（a吃b，b被吃c）=a同类c；f（a被吃b，b同类c）=a吃c。我们令“吃”为1，“被吃”为2，“同类”为0，f(a,b)=(a+b)%3正好满足该要求。所以我们按照顺序尝试将命题涉及的两个动物加入并查集中，并判断是否为假话即可。

　　以下我们将cur与cur->Father的关系简称为cur->ToFaRel。首先，如何压缩路径？明确情况：当FindRoot(cur->Father)后，cur->Father->Father==root。此时我们要让cur->Father=root。由f的定义，可得新的cur->ToFaRel = f(cur->ToFaRel, cur->Father->ToFaRel)。

　　那么如何将两个集合合并呢？明确情况，结点a->Father==a的Root，b->Father==b的Root。明确目的，我们要让a->Father->Father=b->Father。由f的定义，a与b->Father的关系等于f(a与b的关系，b与b->Father的关系)=f(a与a->Father的关系，a->Father与b->Father的关系)。所以a->Father->ToFaRel = Rel(a,b)+b->ToFaRel-a->ToFaRel。判断是否合法也同理。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_NODE = 50010;

struct UnionFindSet
{
private:
    struct Node
    {
        Node *Father;
        int ToFaRel;//relationship between this and father
    }_nodes[MAX_NODE];
    int _vCount;

    void Join(Node *a, Node *b, int toFaRel)
    {
        a->ToFaRel = toFaRel;
        a->Father = b;
    }
    
    Node *FindRoot(Node *cur)
    {
        if (cur->Father == cur)
            return cur;
        Node *root = FindRoot(cur->Father);
        Join(cur, root, (cur->ToFaRel + cur->Father->ToFaRel) % 3);
        return root;
    }
    
public:
    UnionFindSet(int n)
    {
        _vCount = n;
        for (int i = 1; i <= _vCount; i++)
            _nodes[i].Father = _nodes + i;
    }
    
    bool Join(int aId, int bId, int rel)
    {
        Node *a = _nodes + aId, *b = _nodes + bId;
        Node *root1 = FindRoot(a), *root2 = FindRoot(b);
        if (root1 == root2)
            return (rel + b->ToFaRel) % 3 == a->ToFaRel;
        else
        {
            Join(root1, root2, ((rel + b->ToFaRel - a->ToFaRel) % 3 + 3) % 3);
            return true;
        }
    }
};

int main()
{
    int n, opCnt, ans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &opCnt);
    static UnionFindSet g(n);
    while (opCnt--)
    {
        int op, a, b;
        scanf("%d%d%d", &op, &a, &b);
        if (a > n || b > n)
        {
            ans++;
            continue;
        }
        else if (a == b && op == 2)
        {
            ans++;
            continue;
        }
        switch (op)
        {
        case 1:
            ans += !g.Join(a, b, 0);
            break;
        case 2:
            ans += !g.Join(a, b, 1);
            break;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}