luogu2774 方格取数问题 二分图最小权点覆盖集

题目大意：在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，输出这些数之和的最大值。

思路：这种各个点之间互相排斥求最大值的题，往往需要利用上网络流最小割的性质。我们把方格中的所有数字都选上，看看把哪些格子抠掉，能使数值和的减少量最少。

每个格子看作一个节点，其向四周的格子代表的节点连边。现要求一个节点的集合，使得这些点与所有边相连，求点权之和最小值。这就是最小权点覆盖集问题。

要想使该问题有解，往往要将图中的节点分为两个集合，一个集合内的任意两个节点之间没有边相连，也就是说图中所有边两头的节点必须属于不同的集合。解决该问题方法为将S与一个集合中的所有点相连，将另一个集合中的所有点与汇点相连，原图中的边容量设为无穷大，然后跑一遍最大流即可。

理解：每条连接两个集合的边两边的节点我们只要选一个抠掉，两个集合即可彻底分开。这条边的容量是无穷大，即可保证两个 连接两个集合的边的两端节点 与 源汇 连的边中 只会容量小的那个满流，表示选择了这条节点。这样，此时的最大流（最小割）便是最小点权之和。

本题中，我们发现如果把方格按照国际象棋棋盘那样的方式决定节点的集合，恰好满足要求。

#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)
const int MAX_NODE = 5100, MAX_EDGE = MAX_NODE * 100, INF = 0x3f3f3f3f;

struct Dinic
{
    struct Node;
    struct Edge;

    struct Node
    {
        Edge *Head, *DfsFrom;
        int Level;
    }_nodes[MAX_NODE];
    int _vCount;
    Node *Start, *Target;

    struct Edge
    {
        Node *To;
        Edge *Next, *Rev;
        int Cap;
        Edge(Node *to, Edge *next, int cap):To(to),Next(next),Cap(cap){}
    }*_edges[MAX_EDGE];
    int _eCount;

    void Init(int vCount, int sId, int tId)
    {
        _vCount = vCount;
        Start = sId + _nodes;
        Target = tId + _nodes;
        _eCount = 0;
    }

    Edge *AddEdge(Node *from, Node *to, int cap)
    {
        Edge *e = _edges[++_eCount] = new Edge(to, from->Head, cap);
        from->Head = e;
        return e;
    }

    void Build(int uId, int vId, int cap)
    {
        Node *u = uId + _nodes, *v = vId + _nodes;
        Edge *e1 = AddEdge(u, v, cap), *e2 = AddEdge(v, u, 0);
        e1->Rev = e2;
        e2->Rev = e1;
    }

    bool Bfs()
    {
        static queue<Node*> q;
        LOOP(i, _vCount)
            _nodes[i].Level = 0;
        Start->Level = 1;
        q.push(Start);
        while (!q.empty())
        {
            Node *u = q.front();
            q.pop();
            for (Edge *e = u->Head; e; e = e->Next)
            {
                if (!e->To->Level && e->Cap)
                {
                    e->To->Level = u->Level + 1;
                    q.push(e->To);
                }
            }
        }
        return Target->Level;
    }

    int Dfs(Node *cur, int limit)
    {
        if (cur == Target)
            return limit;
        if (limit == 0)
            return 0;
        int curTake = 0;
        for (Edge *e = cur->DfsFrom; e; cur->DfsFrom = e = e->Next)
        {
            if (e->To->Level == cur->Level + 1 && e->Cap)
            {
                int nextTake = Dfs(e->To, min(limit - curTake, e->Cap));
                e->Cap -= nextTake;
                e->Rev->Cap += nextTake;
                curTake += nextTake;
            }
            if (limit - curTake==0)
                break;
        }
        return curTake;
    }

    int Proceed()
    {
        int ans = 0;
        while (Bfs())
        {
            LOOP(i, _vCount)
                _nodes[i].DfsFrom = _nodes[i].Head;
            ans += Dfs(Start, INF);
        }
        return ans;
    }
}g;

int main()
{
#ifdef _DEBUG
    freopen("c:\\noi\\source\\input.txt", "r", stdin);
#endif
    const int direct[][2] = { {-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1} };
    int totCol, totRow, sId, tId, totSum = 0;
    static int matrix[110*110];
    scanf("%d%d", &totCol, &totRow);
    sId = totCol*totRow + 1;
    tId = totCol*totRow + 2;
    g.Init(tId, sId, tId);
    LOOP(col, totCol)
        LOOP(row, totRow)
    {
        int cur = (col - 1)*totRow + row;
        scanf("%d", &matrix[cur]);
        totSum += matrix[cur];
        if ((row + col - 1) % 2)
            g.Build(sId, cur, matrix[cur]);
        else
            g.Build(cur, tId, matrix[cur]);
    }
    LOOP(col, totCol)
        LOOP(row, totRow)
        if ((row + col -1 ) % 2)
        {
            int cur = (col - 1)*totRow + row;
            for (int i = 0; i < 4; i++)
            {
                int col2 = col + direct[i][0], row2 = row + direct[i][1];
                if (col2 >= 1 && col2 <= totCol&&row2 >= 1 && row2 <= totRow)
                {
                    int next = totRow*(col2 - 1) + row2;
                    g.Build(cur, totRow*(col2 - 1) + row2, INF);
                }
            }
        }
    int subt = g.Proceed();
    printf("%d\n", totSum - subt);
    return 0;
}

注意：

1.判断方格的上下左右这方面，尽量分别用两个变量表示行和列。直观，不容易出错。

2.先系统连与源汇相连的边，再连两个集合间的边。错误做法：站在一个集合上，找能连到另一个集合的节点的边，将其构造，然后将令那个另一个集合的节点与汇点相连。因为一个集合的点有多条边，每次把另一个集合的节点与汇点相连造成了很多重边。