信封问题（转载）
这是一个印度同学问某留学生的问题：
有两个信封，你可以选择其中一个。其中一个里面装着一定数量的钱，另外一个装着之前那个信封二倍的钱。你并不知道哪个信封装着的钱更多。假设你现在随机选择了一个信封，如果你被允许给你改变你的选择的话，你会选择另一封吗？
（ps：从信封上看不出也感觉不出厚度等因素的）
第一直觉是不会，因为你感觉这两个信封拿到一定数量的钱的概率都是1/2，拿到二倍钱的概率也是1/2。
但是，概率是个神奇的东西：假使你拿到的信封里的钱是A，那么如果你拿到的是钱较少的那个信封，那么另外个信封的钱则是2A，发生这种事件的可能性是1/2。
如果你拿到的是钱较多的那个信封，那么另外个信封的钱则是1/2A， 发生这种事件的可能性也是1/2。
所以，综上，换信封的话，拿到钱的期望是（2A）*1/2+（1/2A）*1/2=5/4A！！！
换言之，你的期望比你继续持有你现有信封的期望要高，所以结论是你要换信封！
但是更神奇的事情在于，整个推理过程我们用的是一个未知数A，也就是说，换过以后，如果再给你次机会，那么仍然是你再换信封获得的期望比你继续持有那个信封的期望要高！而且这个过程是无限的，所以，理论上，如果给予你无数次可以改变的机会的话，你应该不停的选择换信封.
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下文作者：@Albert_JIAO
网上查了下，这个悖论是经典的Two-Envelope Problem，已经被讨论了几十年，背后的水其实很深。
（1）对于这个诡异的结果，一个最简单的解释就是：假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是2A，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较少的那个数额；假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是A/2，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较多的那个数额。A一会儿表示钱多的那个信封，一会儿表示钱少的那个信封，两次没有明确的表示同一个数量，所以期望的计算不成立。
或者这样说，有两个信封摆在那里，一个有钱A，另一个有钱2A，任意拿一个的期望值都是1.5A，不管拿哪个，因为你也不知道信封里面是A还是2A。
（2）但是上面的解释并不完善，仅适用于对于信封里面是什么一无所知的情况。假设你已经拿了一个信封，并且已经打开，里面的钱为10元（这些都是既定事实），那么另外一个信封里到底是5元还是20元，是不确定的，如果5元和20元的可能性真的各是50%，你应不应该换呢？
答案是应该换，因为在这些条件下，换之后的期望值的确是1.25倍，不过这种情况下最多只有换一次的机会，因为信封已经都打开了。那么，是不是在任何时候打开第一个信封之后，都应该把第一个信封扔掉，要第二个信封呢？（起码直觉上讲这没有道理）
如果前提条件是不管你打开的信封数额A是多少，另一个信封2A和0.5A的可能性相等，比如第一个打开一看是100万元，另一个50万元和200万元可能性相等；第一个打开一看是0.001元，第二个是0.0005元和0.002元的可能性还是相等，扔掉第一个、换第二个毫无疑问一定是最佳的策略。
但是不管A的数额是多少，2A和0.5A的概率永远相等的情况是不存在的。这是因为如果这样，意味着对于制作信封的人来说（不知道这个人是谁，就当上帝吧），他在一对儿一对儿地做信封的时候要保证（0.5A,A）和（A，2A）出现的概率相等，同样的，更小的信封（0.25A,0.5A），（0.125A,0.25A）……和更大的信封（2A，4A），（4A，8A）……所有的数额组合出现的概率都是d（d>0），但是数额可以无限大，也可以无限小，一共有无限多种组合，d乘以无限等于无限，但是作为一种概率分布，必须要保证所有概率加到一起等于1（不能是无限），否则概率分布没有意义。所以，上帝无法造出来能让2A和0.5A的概率永远相等的信封。
如果信封的数额组合并不是无限多，是有限的，悖论是不会出现的。假设只有（1元，2元），（2元，4元），（4元，8元），（8元，16元）这四种情况（上限就是16元）。那么如果采取每次都换的策略，假设你摸到的是1元，换了之后100%可以获得2元，对自己有利。如果你摸到的是2元，1.25倍期望计算是成立的，换了也对自己有利；摸到的是4元和8元，同样换了有利；可是一旦你摸到的是16元，如果还换，就会一下子损失8元，而且是百分之百的，因为信封里没有32元的。尽管大多数时候换是有利的，可以赚一些小钱，但是一旦摸到最大的那个数额（但是自己不知道那是最大的），损失会很大，盈亏会抵消。如果游戏玩很多次，平均下来，换和不换的结果（也就是期望值）是一样的，不存在悖论。事实上在数额有封顶的情况下，比较好的策略是在摸到数额较小的信封时候尽量换，在摸到数额较大的信封的时候尽量不换。
到这里，这个悖论已经基本被粉碎了，不过我们还可以继续较真下去。
（3）但是死理性的人后来又提出这样一种情况：我可以让不同数额信封组合的概率分布加到一起等于1（当然不是都相等的），同时还可以保证每次换的期望值大于A。
比如可以规定对于数额较小的那个信封是2^n的这种组合（即2^(n+1)、2^n）出现的概率为2^n/3^(n+1)，n=1，2，3……。这样，（2元，4元）出现的概率将是4/27（n=2）,(4元,8元)出现的概率是8/81（n=3），以此类推。你如果抽到的是4元，换成另外一个的期望值将会是2元*(4/27)/( 4/27+8/81)+8元*(8/81)/( 4/27+8/81)=2元*(3/5)+8元*(2/5)=4.4>4。
如果把4换成其他数值，比如2或8或其他，结果是一样的。按照这个概率分布公式，如果你摸到的信封是A,另一个是A/2的概率一定是2/5，是2A的概率一定是3/5，最后的期望值是11A/10>A,也就是说结论还是任意时候都要换，双信封悖论又回来了。
这种情况下的漏洞是在哪里呢？两个信封A和B，假设你拿到的是A，那么B的期望值是E(B)=11A/10;如果你拿到的是B，A的期望值是E(A)= 11B/10，这个相互矛盾的东西在一种情况下是不矛盾的：E(A)= E(B)=无限大。
事实也正是这样的，2^n/3^(n+1)的这样的概率分布也是有点病态的，虽然满足相加等于1，但是会导致所有可能信封数额组合的平均期望值是无限大的，同样不符合实际。
这个可以用另外一个赌徒的段子来解释，有一个扔硬币的赌博游戏，参加者每次可以押注一定数额，如果结果是正面，参加者可以得到双倍的回报，如果结果是背面，参加者的押注将一去不复返。假设押注x,1/2*(2x-x)-1/2*x=0,这种游戏的期望值是0,输赢各有一半的可能。一个赌徒说“我有一种只赢不输的必胜策略，第一次我押1元，如果赢了就不玩了，输了继续押第二次，押注变为2元，如果赢了可以获得4元，4-1-2=1，还是净赚的；如果第二次还输，第三次就会押注8元，按照这样，如果输了就继续翻番的押注，赢了就不继续玩了，这样一直下去，总有赢的时候，只要赢一次，就可以收回之前的所有投入”。这种策略不可行的原因是赌徒手里的钱是有限的，押注以2倍的指数增大，增长速度很快，如果真的运气不佳，连续很多次硬币都是背面，赌徒就会倾家荡产，综合下来一算期望值，其实还是0。除非假设赌徒有无限多的钱，才能保证这样的策略永远有效，但是，赌徒真要有无穷多的钱，无穷+无穷还等于无穷，赢多少钱对他都没有意义了，还用去赌博赚钱吗？
类似于赌博的例子，如果A本身的期望值就是无穷大的，就没有意义再讨论换成B之后期望值是多少，比A大还是比A小了，最初的Two Envelope Paradox即使在这种概率分布的假设下还是不成立的。
（4）除了Two-Envelope Problem本身，wikipedia上还介绍了一个与之有关的有趣定理。
如果游戏规则是这样，制作信封的人每次给你两个信封，分别装有不同数量的钱X,Y，X和Y未必是二倍关系，但是X,Y的数值符合一定的概率分布，不过你完全不知道是哪种分布。你在游戏中的目标是设法提高自己拿到钱比较多的信封的可能性。
在你打开第一个信封，看到钱的数量之后，可以决定留着这个信封，还是换成另外一个。在决定换和不换的时候，如果你使用这样的办法，用自己的电脑产生一个0到正无穷的随机数，随机数的概率分布可以用指数分布exp(-z)（exp(-z)在0到正无穷之间积分等于1）或者其他的一些分布，然后你用信封里的钱和随机数z比较，如果小于z，就换另外一个信封，如果大于z就留着。这样做看起来似乎没什么作用，但事实却出乎意料。
如果z的值比X和Y都要小，第一个信封一定会留着，对于提高拿到钱多信封的可能性没有影响。如果z的值比X和Y都要大，第一个信封一定会被换掉，对于提高拿到钱多信封的可能性也没有影响。但是如果z正好在X和Y之间，第一次打开信封又恰巧是数额比较小的那个，就可以被换成数额比较大的那个，如果第一次打开信封是数额比较大的那个，则没有影响。综合下来，如果什么也不做，每次拿到钱多的信封的可能性是1/2，但是用了一个随机数z之后，可能性就大于1/2了。“获胜”概率=1/2 + P(Z falls between the two numbers)/2.
大家如果有兴趣进一步了解，可以看一下下面的资料：
1、http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
2、A CONCISE RESOLUTION TO THE TWO ENVELOPE PARADOX；ERIC BLISS
3、An Inside Look at the Two Envelopes Paradox；Ruma Falk，Raymond S. Nickerson
4、Opening Two Envelopes；Paul Syverson
5、Puzzles The Other Person's Envelope is Always Greener；Barry Nalebuff
6、The Two-envelope Paradox；JOHN BROOME
有两个信封，你可以选择其中一个。其中一个里面装着一定数量的钱，另外一个装着之前那个信封二倍的钱。你并不知道哪个信封装着的钱更多。假设你现在随机选择了一个信封，如果你被允许给你改变你的选择的话，你会选择另一封吗？
（ps：从信封上看不出也感觉不出厚度等因素的）
第一直觉是不会，因为你感觉这两个信封拿到一定数量的钱的概率都是1/2，拿到二倍钱的概率也是1/2。
但是，概率是个神奇的东西：假使你拿到的信封里的钱是A，那么如果你拿到的是钱较少的那个信封，那么另外个信封的钱则是2A，发生这种事件的可能性是1/2。
如果你拿到的是钱较多的那个信封，那么另外个信封的钱则是1/2A， 发生这种事件的可能性也是1/2。
所以，综上，换信封的话，拿到钱的期望是（2A）*1/2+（1/2A）*1/2=5/4A！！！
换言之，你的期望比你继续持有你现有信封的期望要高，所以结论是你要换信封！
但是更神奇的事情在于，整个推理过程我们用的是一个未知数A，也就是说，换过以后，如果再给你次机会，那么仍然是你再换信封获得的期望比你继续持有那个信封的期望要高！而且这个过程是无限的，所以，理论上，如果给予你无数次可以改变的机会的话，你应该不停的选择换信封.
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下文作者：@Albert_JIAO
网上查了下，这个悖论是经典的Two-Envelope Problem，已经被讨论了几十年，背后的水其实很深。
（1）对于这个诡异的结果，一个最简单的解释就是：假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是2A，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较少的那个数额；假设你拿到的信封里的钱是A，那么另外一个信封的钱则是A/2，可能性是1/2，此时我们假设A是两个信封里钱比较多的那个数额。A一会儿表示钱多的那个信封，一会儿表示钱少的那个信封，两次没有明确的表示同一个数量，所以期望的计算不成立。
或者这样说，有两个信封摆在那里，一个有钱A，另一个有钱2A，任意拿一个的期望值都是1.5A，不管拿哪个，因为你也不知道信封里面是A还是2A。
（2）但是上面的解释并不完善，仅适用于对于信封里面是什么一无所知的情况。假设你已经拿了一个信封，并且已经打开，里面的钱为10元（这些都是既定事实），那么另外一个信封里到底是5元还是20元，是不确定的，如果5元和20元的可能性真的各是50%，你应不应该换呢？
答案是应该换，因为在这些条件下，换之后的期望值的确是1.25倍，不过这种情况下最多只有换一次的机会，因为信封已经都打开了。那么，是不是在任何时候打开第一个信封之后，都应该把第一个信封扔掉，要第二个信封呢？（起码直觉上讲这没有道理）
如果前提条件是不管你打开的信封数额A是多少，另一个信封2A和0.5A的可能性相等，比如第一个打开一看是100万元，另一个50万元和200万元可能性相等；第一个打开一看是0.001元，第二个是0.0005元和0.002元的可能性还是相等，扔掉第一个、换第二个毫无疑问一定是最佳的策略。
但是不管A的数额是多少，2A和0.5A的概率永远相等的情况是不存在的。这是因为如果这样，意味着对于制作信封的人来说（不知道这个人是谁，就当上帝吧），他在一对儿一对儿地做信封的时候要保证（0.5A,A）和（A，2A）出现的概率相等，同样的，更小的信封（0.25A,0.5A），（0.125A,0.25A）……和更大的信封（2A，4A），（4A，8A）……所有的数额组合出现的概率都是d（d>0），但是数额可以无限大，也可以无限小，一共有无限多种组合，d乘以无限等于无限，但是作为一种概率分布，必须要保证所有概率加到一起等于1（不能是无限），否则概率分布没有意义。所以，上帝无法造出来能让2A和0.5A的概率永远相等的信封。
如果信封的数额组合并不是无限多，是有限的，悖论是不会出现的。假设只有（1元，2元），（2元，4元），（4元，8元），（8元，16元）这四种情况（上限就是16元）。那么如果采取每次都换的策略，假设你摸到的是1元，换了之后100%可以获得2元，对自己有利。如果你摸到的是2元，1.25倍期望计算是成立的，换了也对自己有利；摸到的是4元和8元，同样换了有利；可是一旦你摸到的是16元，如果还换，就会一下子损失8元，而且是百分之百的，因为信封里没有32元的。尽管大多数时候换是有利的，可以赚一些小钱，但是一旦摸到最大的那个数额（但是自己不知道那是最大的），损失会很大，盈亏会抵消。如果游戏玩很多次，平均下来，换和不换的结果（也就是期望值）是一样的，不存在悖论。事实上在数额有封顶的情况下，比较好的策略是在摸到数额较小的信封时候尽量换，在摸到数额较大的信封的时候尽量不换。
到这里，这个悖论已经基本被粉碎了，不过我们还可以继续较真下去。
（3）但是死理性的人后来又提出这样一种情况：我可以让不同数额信封组合的概率分布加到一起等于1（当然不是都相等的），同时还可以保证每次换的期望值大于A。
比如可以规定对于数额较小的那个信封是2^n的这种组合（即2^(n+1)、2^n）出现的概率为2^n/3^(n+1)，n=1，2，3……。这样，（2元，4元）出现的概率将是4/27（n=2）,(4元,8元)出现的概率是8/81（n=3），以此类推。你如果抽到的是4元，换成另外一个的期望值将会是2元*(4/27)/( 4/27+8/81)+8元*(8/81)/( 4/27+8/81)=2元*(3/5)+8元*(2/5)=4.4>4。
如果把4换成其他数值，比如2或8或其他，结果是一样的。按照这个概率分布公式，如果你摸到的信封是A,另一个是A/2的概率一定是2/5，是2A的概率一定是3/5，最后的期望值是11A/10>A,也就是说结论还是任意时候都要换，双信封悖论又回来了。
这种情况下的漏洞是在哪里呢？两个信封A和B，假设你拿到的是A，那么B的期望值是E(B)=11A/10;如果你拿到的是B，A的期望值是E(A)= 11B/10，这个相互矛盾的东西在一种情况下是不矛盾的：E(A)= E(B)=无限大。
事实也正是这样的，2^n/3^(n+1)的这样的概率分布也是有点病态的，虽然满足相加等于1，但是会导致所有可能信封数额组合的平均期望值是无限大的，同样不符合实际。
这个可以用另外一个赌徒的段子来解释，有一个扔硬币的赌博游戏，参加者每次可以押注一定数额，如果结果是正面，参加者可以得到双倍的回报，如果结果是背面，参加者的押注将一去不复返。假设押注x,1/2*(2x-x)-1/2*x=0,这种游戏的期望值是0,输赢各有一半的可能。一个赌徒说“我有一种只赢不输的必胜策略，第一次我押1元，如果赢了就不玩了，输了继续押第二次，押注变为2元，如果赢了可以获得4元，4-1-2=1，还是净赚的；如果第二次还输，第三次就会押注8元，按照这样，如果输了就继续翻番的押注，赢了就不继续玩了，这样一直下去，总有赢的时候，只要赢一次，就可以收回之前的所有投入”。这种策略不可行的原因是赌徒手里的钱是有限的，押注以2倍的指数增大，增长速度很快，如果真的运气不佳，连续很多次硬币都是背面，赌徒就会倾家荡产，综合下来一算期望值，其实还是0。除非假设赌徒有无限多的钱，才能保证这样的策略永远有效，但是，赌徒真要有无穷多的钱，无穷+无穷还等于无穷，赢多少钱对他都没有意义了，还用去赌博赚钱吗？
类似于赌博的例子，如果A本身的期望值就是无穷大的，就没有意义再讨论换成B之后期望值是多少，比A大还是比A小了，最初的Two Envelope Paradox即使在这种概率分布的假设下还是不成立的。
（4）除了Two-Envelope Problem本身，wikipedia上还介绍了一个与之有关的有趣定理。
如果游戏规则是这样，制作信封的人每次给你两个信封，分别装有不同数量的钱X,Y，X和Y未必是二倍关系，但是X,Y的数值符合一定的概率分布，不过你完全不知道是哪种分布。你在游戏中的目标是设法提高自己拿到钱比较多的信封的可能性。
在你打开第一个信封，看到钱的数量之后，可以决定留着这个信封，还是换成另外一个。在决定换和不换的时候，如果你使用这样的办法，用自己的电脑产生一个0到正无穷的随机数，随机数的概率分布可以用指数分布exp(-z)（exp(-z)在0到正无穷之间积分等于1）或者其他的一些分布，然后你用信封里的钱和随机数z比较，如果小于z，就换另外一个信封，如果大于z就留着。这样做看起来似乎没什么作用，但事实却出乎意料。
如果z的值比X和Y都要小，第一个信封一定会留着，对于提高拿到钱多信封的可能性没有影响。如果z的值比X和Y都要大，第一个信封一定会被换掉，对于提高拿到钱多信封的可能性也没有影响。但是如果z正好在X和Y之间，第一次打开信封又恰巧是数额比较小的那个，就可以被换成数额比较大的那个，如果第一次打开信封是数额比较大的那个，则没有影响。综合下来，如果什么也不做，每次拿到钱多的信封的可能性是1/2，但是用了一个随机数z之后，可能性就大于1/2了。“获胜”概率=1/2 + P(Z falls between the two numbers)/2.
大家如果有兴趣进一步了解，可以看一下下面的资料：
1、http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
2、A CONCISE RESOLUTION TO THE TWO ENVELOPE PARADOX；ERIC BLISS
3、An Inside Look at the Two Envelopes Paradox；Ruma Falk，Raymond S. Nickerson
4、Opening Two Envelopes；Paul Syverson
5、Puzzles The Other Person's Envelope is Always Greener；Barry Nalebuff
6、The Two-envelope Paradox；JOHN BROOME
