深度学习卷积网络中反卷积/转置卷积的理解 transposed conv/deconv

搞明白了卷积网络中所谓deconv到底是个什么东西后，不写下来怕又忘记，根据参考资料，加上我自己的理解，记录在这篇博客里。

先来规范表达

• 为了方便理解，本文出现的举例情况都是2D矩阵卷积，卷积输入和核形状都为正方形，x和y轴方向的padding相同，stride也相同。
• 记号： 
   i,o,k,p,s$i,o,k,p,s$ 分别表示：卷积/反卷积的输入大小 input size$inputsize$，卷积/反卷积输出大小 output size$outputsize$，卷积/反卷积核大小 kernel size$kernelsize$， padding$padding$， stride$stride$ 。
• 举例（如下左图）： 
  输入 X∈R(4,4)$X\in {\mathbb{R}}^{(4,4)}$矩阵，卷积核 w∈R(3,3)，padding=0，stride=1$w\in {\mathbb{R}}^{(3,3)}，padding=0，stride=1$的情况下，卷积的输出 Y∈R(2,2)$Y\in {\mathbb{R}}^{(2,2)}$，就记为 i=4,o=2,k=3,p=0,s=1$i=4,o=2,k=3,p=0,s=1$ 。

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推翻错误的理解

第一次看到deconv这个词，以为deconv的结果就是卷积的逆，觉得神奇，不禁产生了“哦？转置的卷积就可以求逆了吗？”这样的想法，然后在matlab里面实验求证，我还记得当时以为反卷积能够求逆，考虑到图片进行常规卷积操作输出大小又不可能变大（same/valid），于是我还假设反卷积输出大小不变，用了same padding和原核的转置作为反卷积配置，结果发现根本不是那么一回事好吗。 
其实DL中的deconv，是一种上采样过程，举个比方：输入 X∈R(4,4)$X\in {\mathbb{R}}^{(4,4)}$矩阵，卷积核 w∈R(3,3)，pad=0，stride=1$w\in {\mathbb{R}}^{(3,3)}，pad=0，stride=1$的情况下（如下左图），卷积的输出 Y∈R(2,2)$Y\in {\mathbb{R}}^{(2,2)}$。对 Y$Y$进行deconv，它只能做到把还原输出大小到和 X$X$一样大，输出值和 X$X$有那么一点联系。 
所以啊deconv这个名字相当误导人呐！这在cs231n课程里也被吐槽过，大家现在更喜欢用transposed conv来表述反卷积。为了方便起见，后文就用反卷积这个词了。

第二个容易confused的地方，就是很多文章都说卷积核的转置就可以求反卷积，又陷入迷茫“就算把卷积核转置（或者左右翻转上下翻转），卷积后输出还是越来越小（或不变，至少不会增大）啊”……直到看到文献和相应的这个动画（其他动画在github-convolution arithmetic1）

卷积  i=4,k=3,p=0,s=1,则 o=2$i=4,k=3,p=0,s=1,则o=2$	反卷积 i=2,k=3,p=0,s=1,则 o=4$i=2,k=3,p=0,s=1,则o=4$

注意图中蓝色（下面）是输入，绿色（上面）是输出，卷积和反卷积在 p、s、k $p、s、k$等参数一样时，是相当于 i$i$ 和 o$o$ 调了个位。 
这里说明了反卷积的时候，是有补0的，即使人家管这叫no padding（ p=0$p=0$），这是因为卷积的时候从蓝色 4×4$4\times 4$ 缩小为绿色 2×2$2\times 2$，所以对应的 p=0$p=0$ 反卷积应该从蓝色 2×2$2\times 2$ 扩展成绿色 4×4$4\times 4$。而且转置并不是指这个 3×3$3\times 3$ 的核 w$w$ 变为 wT$w^T$，但如果将卷积计算写成矩阵乘法（在程序中，为了提高卷积操作的效率，就可以这么干，比如tensorflow中就是这种实现）， Y⃗ =CX⃗ $\overrightarrow{Y}=C\overrightarrow{X}$（其中 Y⃗ $\overrightarrow{Y}$ 表示将 Y⃗ $\overrightarrow{Y}$ 拉成一维向量， X⃗ $\overrightarrow{X}$ 同理），那么反卷积确实可以表示为 CTY⃗ $C^T\overrightarrow{Y}$，而这样的矩阵乘法，恰恰等于 w$w$ 左右翻转再上下翻转后与补0的 Y$Y$卷积的情况。

然后就产生了第三个confuse：“补0了会不会有影响，还能通过反卷积近似输入 X$X$ 吗？”其实反卷积也不一定能达到近似的效果，图像里的卷积，相当于一种相关操作，而反卷积维持了这种相关操作时的 w$w$ 与 X$X$、与 Y$Y$ 之间的联系维持了。至于补0后操作是否还等价，上一段已经说明了是等价的，读者可以在阅读完后面的文章后自己尝试一下。

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反卷积以及反向传播的过程

卷积和反卷积的过程在arXiv-A guide to convolution arithmetic for deep learning2写的非常详细，还有很多例子便于理解，在这里我就截图出重点来（ps.文中的figure2.1就是上图的左边）。剩下的例子请大家多看看原文，最好自己动手算一下，我也贴个我算的过程（ Ci$C_i$ 表示矩阵 C$C$ 的第 i$i$ 行），供参考。 
关于反向传播， 知乎-如何理解深度学习中的deconvolution networks3有详细的推导过程。