决策树模型

这一节决策树其实是对前面的堆排序，快排等是最优的比较算法的证明，

首先说下《算法导论》上对决策树的定义：一棵决策树是一棵满二叉树(注意看下面解释)，表示某排序算法作用于给定输入所做的所有比较，而控制结构，移动等都被忽略了。

注意：这里个人认为定义是错误的，决策树不是一棵满二叉树，连完全二叉树都不是。

首先看看只有三个元素时，决策树的图：

在决策树中，每个内结点都用i:j表示比较下标为i数组元素与下标为j的数组元素的大小。每一个叶结点是一个n个元素的全排列。

所以排序算法的执行对应于遍历一条从树的根到叶结点的路径！

因为有n个结点，根据高中学的组合排列知识，知道有n!个情况，也就是n!个叶子结点。

在决策树中，从根到任意一个可达叶结点之间的最长路径的长度，表示对应的排序算法中最坏情况下的比较次数。这样，一个比较算法的最坏情况的比较次数就是其决策树的高度。

定理8.1证明了任意一个比较算法在最坏情况下都需要做Ω(n lg n)次的比较。这个证明比较简单，可以看看书上的证明过程。