4-2.矩阵乘法的Strassen算法详解
题目描述
请编程实现矩阵乘法，并考虑当矩阵规模较大时的优化方法。
思路分析
根据wikipedia上的介绍：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵B的列数和另一个矩阵A的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。
值得一提的是，矩阵乘法满足结合律和分配率，但并不满足交换律，如下图所示的这个例子，两个矩阵交换相乘后，结果变了：
下面咱们来具体解决这个矩阵相乘的问题。
解法一、暴力解法
其实，通过前面的分析，我们已经很明显的看出，两个具有相同维数的矩阵相乘，其复杂度为O（n^3），参考代码如下：
- //矩阵乘法，3个for循环搞定
- void Mul(int** matrixA, int** matrixB, int** matrixC)
- {
- for(int i = 0; i < 2; ++i)
- {
- for(int j = 0; j < 2; ++j)
- {
- matrixC[i][j] = 0;
- for(int k = 0; k < 2; ++k)
- {
- matrixC[i][j] += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];
- }
- }
- }
- }
解法二、Strassen算法
在解法一中，我们用了3个for循环搞定矩阵乘法，但当两个矩阵的维度变得很大时，O（n^3）的时间复杂度将会变得很大，于是，我们需要找到一种更优的解法。
一般说来，当数据量一大时，我们往往会把大的数据分割成小的数据，各个分别处理。遵此思路，如果丢给我们一个很大的两个矩阵呢，是否可以考虑分治的方法循序渐进处理各个小矩阵的相乘，因为我们知道一个矩阵是可以分成更多小的矩阵的。
如下图，当给定一个两个二维矩阵A B时：
这两个矩阵A B相乘时，我们发现在相乘的过程中，有8次乘法运算，4次加法运算：
矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上，而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。故此，我们思考，是否可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少，从而达到降低矩阵乘法的复杂度呢？答案是肯定的。
1969年，德国的一位数学家Strassen证明O（N^3）的解法并不是矩阵乘法的最优算法，他做了一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n^2.80)。
他是怎么做到的呢？还是用上文A B两个矩阵相乘的例子，他定义了7个变量：
如此，Strassen算法的流程如下：
- 两个矩阵A B相乘时，将A, B, C分成相等大小的方块矩阵：
；
- 可以看出C是这么得来的：
- 现在定义7个新矩阵（读者可以思考下，这7个新矩阵是如何想到的）：
- 而最后的结果矩阵C 可以通过组合上述7个新矩阵得到：
表面上看，Strassen算法仅仅比通用矩阵相乘算法好一点，因为通用矩阵相乘算法时间复杂度是，而Strassen算法复杂度只是
。但随着n的变大，比如当n >> 100时，Strassen算法是比通用矩阵相乘算法变得更有效率。
具体实现的伪代码如下：
Strassen (N,MatrixA,MatrixB,MatrixResult)
//splitting input Matrixes, into 4 submatrices each.
for i <- 0 to N/2
for j <- 0 to N/2
A11[i][j] <- MatrixA[i][j]; //a矩阵块
A12[i][j] <- MatrixA[i][j + N / 2]; //b矩阵块
A21[i][j] <- MatrixA[i + N / 2][j]; //c矩阵块
A22[i][j] <- MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];//d矩阵块
B11[i][j] <- MatrixB[i][j]; //e 矩阵块
B12[i][j] <- MatrixB[i][j + N / 2]; //f 矩阵块
B21[i][j] <- MatrixB[i + N / 2][j]; //g 矩阵块
B22[i][j] <- MatrixB[i + N / 2][j + N / 2]; //h矩阵块
//here we calculate M1..M7 matrices .
//递归求M1
HalfSize <- N/2
AResult <- A11+A22
BResult <- B11+B22
Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 ); //M1=(A11+A22)*(B11+B22) p5=(a+d)*(e+h)
//递归求M2
AResult <- A21+A22
Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2); //M2=(A21+A22)B11 p3=(c+d)*e
//递归求M3
BResult <- B12 - B22
Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3); //M3=A11(B12-B22) p1=a*(f-h)
//递归求M4
BResult <- B21 - B11
Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4); //M4=A22(B21-B11) p4=d*(g-e)
//递归求M5
AResult <- A11+A12
Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5); //M5=(A11+A12)B22 p2=(a+b)*h
//递归求M6
AResult <- A21-A11
BResult <- B11+B12
Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6); //M6=(A21-A11)(B11+B12) p7=(c-a)(e+f)
//递归求M7
AResult <- A12-A22
BResult <- B21+B22
Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7); //M7=(A12-A22)(B21+B22) p6=(b-d)*(g+h)
//计算结果子矩阵
C11 <- M1 + M4 - M5 + M7;
C12 <- M3 + M5;
C21 <- M2 + M4;
C22 <- M1 + M3 - M2 + M6;
//at this point , we have calculated the c11..c22 matrices, and now we are going to
//put them together and make a unit matrix which would describe our resulting Matrix.
for i <- 0 to N/2
for j <- 0 to N/2
MatrixResult[i][j] <- C11[i][j];
MatrixResult[i][j + N / 2] <- C12[i][j];
MatrixResult[i + N / 2][j] <- C21[i][j];
MatrixResult[i + N / 2][j + N / 2] <- C22[i][j];
具体测试代码如下：
// 4-2.矩阵乘法的Strassen算法.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <Windows.h>
using namespace std;
template<typename T>
class Strassen_class{
public:
void ADD(T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize );
void SUB(T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize );
void MUL( T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize );//朴素算法实现
void FillMatrix( T** MatrixA, T** MatrixB, int length);//A,B矩阵赋值
void PrintMatrix(T **MatrixA,int MatrixSize);//打印矩阵
void Strassen(int N, T **MatrixA, T **MatrixB, T **MatrixC);//Strassen算法实现
};
template<typename T>
void Strassen_class<T>::ADD(T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize )
{
for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++)
{
for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++)
{
MatrixResult[i][j] = MatrixA[i][j] + MatrixB[i][j];
}
}
}
template<typename T>
void Strassen_class<T>::SUB(T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize )
{
for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++)
{
for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++)
{
MatrixResult[i][j] = MatrixA[i][j] - MatrixB[i][j];
}
}
}
template<typename T>
void Strassen_class<T>::MUL( T** MatrixA, T** MatrixB, T** MatrixResult, int MatrixSize )
{
for (int i=0;i<MatrixSize ;i++)
{
for (int j=0;j<MatrixSize ;j++)
{
MatrixResult[i][j]=0;
for (int k=0;k<MatrixSize ;k++)
{
MatrixResult[i][j]=MatrixResult[i][j]+MatrixA[i][k]*MatrixB[k][j];
}
}
}
}
/*
c++使用二维数组，申请动态内存方法
申请
int **A;
A = new int *[desired_array_row];
for ( int i = 0; i < desired_array_row; i++)
A[i] = new int [desired_column_size];
释放
for ( int i = 0; i < your_array_row; i++)
delete [] A[i];
delete[] A;
*/
template<typename T>
void Strassen_class<T>::Strassen(int N, T **MatrixA, T **MatrixB, T **MatrixC)
{
int HalfSize = N/2;
int newSize = N/2;
if ( N <= 64 ) //分治门槛，小于这个值时不再进行递归计算，而是采用常规矩阵计算方法
{
MUL(MatrixA,MatrixB,MatrixC,N);
}
else
{
T** A11;
T** A12;
T** A21;
T** A22;
T** B11;
T** B12;
T** B21;
T** B22;
T** C11;
T** C12;
T** C21;
T** C22;
T** M1;
T** M2;
T** M3;
T** M4;
T** M5;
T** M6;
T** M7;
T** AResult;
T** BResult;
//making a 1 diminsional pointer based array.
A11 = new T *[newSize];
A12 = new T *[newSize];
A21 = new T *[newSize];
A22 = new T *[newSize];
B11 = new T *[newSize];
B12 = new T *[newSize];
B21 = new T *[newSize];
B22 = new T *[newSize];
C11 = new T *[newSize];
C12 = new T *[newSize];
C21 = new T *[newSize];
C22 = new T *[newSize];
M1 = new T *[newSize];
M2 = new T *[newSize];
M3 = new T *[newSize];
M4 = new T *[newSize];
M5 = new T *[newSize];
M6 = new T *[newSize];
M7 = new T *[newSize];
AResult = new T *[newSize];
BResult = new T *[newSize];
int newLength = newSize;
//making that 1 diminsional pointer based array , a 2D pointer based array
for ( int i = 0; i < newSize; i++)
{
A11[i] = new T[newLength];
A12[i] = new T[newLength];
A21[i] = new T[newLength];
A22[i] = new T[newLength];
B11[i] = new T[newLength];
B12[i] = new T[newLength];
B21[i] = new T[newLength];
B22[i] = new T[newLength];
C11[i] = new T[newLength];
C12[i] = new T[newLength];
C21[i] = new T[newLength];
C22[i] = new T[newLength];
M1[i] = new T[newLength];
M2[i] = new T[newLength];
M3[i] = new T[newLength];
M4[i] = new T[newLength];
M5[i] = new T[newLength];
M6[i] = new T[newLength];
M7[i] = new T[newLength];
AResult[i] = new T[newLength];
BResult[i] = new T[newLength];
}
//splitting input Matrixes, into 4 submatrices each.
for (int i = 0; i < N / 2; i++)
{
for (int j = 0; j < N / 2; j++)
{
A11[i][j] = MatrixA[i][j];
A12[i][j] = MatrixA[i][j + N / 2];
A21[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j];
A22[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];
B11[i][j] = MatrixB[i][j];
B12[i][j] = MatrixB[i][j + N / 2];
B21[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j];
B22[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j + N / 2];
}
}
//here we calculate M1..M7 matrices .
//M1[][]
ADD( A11,A22,AResult, HalfSize);
ADD( B11,B22,BResult, HalfSize); //p5=(a+d)*(e+h)
Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 ); //now that we need to multiply this , we use the strassen itself .
//M2[][]
ADD( A21,A22,AResult, HalfSize); //M2=(A21+A22)B11 p3=(c+d)*e
Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2); //Mul(AResult,B11,M2);
//M3[][]
SUB( B12,B22,BResult, HalfSize); //M3=A11(B12-B22) p1=a*(f-h)
Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3); //Mul(A11,BResult,M3);
//M4[][]
SUB( B21, B11, BResult, HalfSize); //M4=A22(B21-B11) p4=d*(g-e)
Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4); //Mul(A22,BResult,M4);
//M5[][]
ADD( A11, A12, AResult, HalfSize); //M5=(A11+A12)B22 p2=(a+b)*h
Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5); //Mul(AResult,B22,M5);
//M6[][]
SUB( A21, A11, AResult, HalfSize);
ADD( B11, B12, BResult, HalfSize); //M6=(A21-A11)(B11+B12) p7=(c-a)(e+f)
Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6); //Mul(AResult,BResult,M6);
//M7[][]
SUB(A12, A22, AResult, HalfSize);
ADD(B21, B22, BResult, HalfSize); //M7=(A12-A22)(B21+B22) p6=(b-d)*(g+h)
Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7); //Mul(AResult,BResult,M7);
//C11 = M1 + M4 - M5 + M7;
ADD( M1, M4, AResult, HalfSize);
SUB( M7, M5, BResult, HalfSize);
ADD( AResult, BResult, C11, HalfSize);
//C12 = M3 + M5;
ADD( M3, M5, C12, HalfSize);
//C21 = M2 + M4;
ADD( M2, M4, C21, HalfSize);
//C22 = M1 + M3 - M2 + M6;
ADD( M1, M3, AResult, HalfSize);
SUB( M6, M2, BResult, HalfSize);
ADD( AResult, BResult, C22, HalfSize);
//at this point , we have calculated the c11..c22 matrices, and now we are going to
//put them together and make a unit matrix which would describe our resulting Matrix.
//组合小矩阵到一个大矩阵
for (int i = 0; i < N/2 ; i++)
{
for (int j = 0 ; j < N/2 ; j++)
{
MatrixC[i][j] = C11[i][j];
MatrixC[i][j + N / 2] = C12[i][j];
MatrixC[i + N / 2][j] = C21[i][j];
MatrixC[i + N / 2][j + N / 2] = C22[i][j];
}
}
// 释放矩阵内存空间
for (int i = 0; i < newLength; i++)
{
delete[] A11[i];delete[] A12[i];delete[] A21[i];
delete[] A22[i];
delete[] B11[i];delete[] B12[i];delete[] B21[i];
delete[] B22[i];
delete[] C11[i];delete[] C12[i];delete[] C21[i];
delete[] C22[i];
delete[] M1[i];delete[] M2[i];delete[] M3[i];delete[] M4[i];
delete[] M5[i];delete[] M6[i];delete[] M7[i];
delete[] AResult[i];delete[] BResult[i] ;
}
delete[] A11;delete[] A12;delete[] A21;delete[] A22;
delete[] B11;delete[] B12;delete[] B21;delete[] B22;
delete[] C11;delete[] C12;delete[] C21;delete[] C22;
delete[] M1;delete[] M2;delete[] M3;delete[] M4;delete[] M5;
delete[] M6;delete[] M7;
delete[] AResult;
delete[] BResult ;
}//end of else
}
template<typename T>
void Strassen_class<T>::FillMatrix( T** MatrixA, T** MatrixB, int length)
{
for(int row = 0; row<length; row++)
{
for(int column = 0; column<length; column++)
{
MatrixB[row][column] = (MatrixA[row][column] = rand() %5);
//matrix2[row][column] = rand() % 2;//ba hazfe in khat 50% afzayeshe soorat khahim dasht
}
}
}
template<typename T>
void Strassen_class<T>::PrintMatrix(T **MatrixA,int MatrixSize)
{
cout<<endl;
for(int row = 0; row<MatrixSize; row++)
{
for(int column = 0; column<MatrixSize; column++)
{
cout<<MatrixA[row][column]<<"\t";
if ((column+1)%((MatrixSize)) == 0)
cout<<endl;
}
}
cout<<endl;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
Strassen_class<int> stra;//定义Strassen_class类对象
int MatrixSize = 0;
int** MatrixA; //存放矩阵A
int** MatrixB; //存放矩阵B
int** MatrixC; //存放结果矩阵
clock_t startTime_For_Normal_Multipilication ;
clock_t endTime_For_Normal_Multipilication ;
clock_t startTime_For_Strassen ;
clock_t endTime_For_Strassen ;
srand(time(0));
cout<<"\n请输入矩阵大小(必须是2的幂指数值(例如:32,64,512,..): ";
cin>>MatrixSize;
int N = MatrixSize;//for readiblity.
//申请内存
MatrixA = new int *[MatrixSize];
MatrixB = new int *[MatrixSize];
MatrixC = new int *[MatrixSize];
for (int i = 0; i < MatrixSize; i++)
{
MatrixA[i] = new int [MatrixSize];
MatrixB[i] = new int [MatrixSize];
MatrixC[i] = new int [MatrixSize];
}
stra.FillMatrix(MatrixA,MatrixB,MatrixSize); //矩阵赋值
//*******************conventional multiplication test
cout<<"朴素矩阵算法开始时钟: "<< (startTime_For_Normal_Multipilication = clock());
stra.MUL(MatrixA,MatrixB,MatrixC,MatrixSize);//朴素矩阵相乘算法 T(n) = O(n^3)
cout<<"\n朴素矩阵算法结束时钟: "<< (endTime_For_Normal_Multipilication = clock());
cout<<"\n矩阵运算结果... \n";
stra.PrintMatrix(MatrixC,MatrixSize);
//*******************Strassen multiplication test
cout<<"\nStrassen算法开始时钟: "<< (startTime_For_Strassen = clock());
stra.Strassen( N, MatrixA, MatrixB, MatrixC ); //strassen矩阵相乘算法
cout<<"\nStrassen算法结束时钟: "<<(endTime_For_Strassen = clock());
cout<<"\n矩阵运算结果... \n";
stra.PrintMatrix(MatrixC,MatrixSize);
cout<<"矩阵大小 "<<MatrixSize;
cout<<"\n朴素矩阵算法: "<<(endTime_For_Normal_Multipilication - startTime_For_Normal_Multipilication)<<" Clocks.."<<(endTime_For_Normal_Multipilication - startTime_For_Normal_Multipilication)/CLOCKS_PER_SEC<<" Sec";
cout<<"\nStrassen算法:"<<(endTime_For_Strassen - startTime_For_Strassen)<<" Clocks.."<<(endTime_For_Strassen - startTime_For_Strassen)/CLOCKS_PER_SEC<<" Sec\n";
system("Pause");
return 0;
}
运行结果：
性能分析：
数据取600位上界，即超过10分钟跳出。可以看到使用Strassen算法时，耗时不但没有减少，反而剧烈增多，在n=700时计算时间就无法忍受。仔细研究后发现，采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势。于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。
改进后算法优势明显，就算时间大幅下降。之后，针对不同大小的界限进行试验。在初步试验中发现，当数据规模小于1000时，下界S法的差别不大，规模大于1000以后，n取值越大，消耗时间下降。最优的界限值在32～128之间。
因为计算机每次运算时的系统环境不同（CPU占用、内存占用等），所以计算出的时间会有一定浮动。虽然这样，试验结果已经能得出结论Strassen算法比常规法优势明显。使用下界法改进后，在分治效率和动态分配内存间取舍，针对不同的数据规模稍加试验可以得到一个最优的界限。
小结：
1）采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势
2）于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。需要合理设置界限，不同环境（硬件配置）下界限不同
3）矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数很大时，才会考虑使用Strassen算法。
“过一个平凡无趣的人生实在太容易了，你可以不读书，不冒险，不运动，不写作，不外出，不折腾……但是，人生最后悔的事情就是：我本可以。”——陈素封。
