2-3.归并排序详解
归并排序
基本思想：设两个有序的子序列(相当于输入序列)放在同一序列中相邻的位置上：array[low..m]，array[m + 1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存序列 temp (相当于输出序列)中，待合并完成后将 temp 复制回 array[low..high]中，从而完成排序。
在具体的合并过程中，设置 i，j 和 p 三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较 array[i] 和 array[j] 的关键字，取关键字较小（或较大）的记录复制到 temp[p] 中，然后将被复制记录的指针 i 或 j 加 1，以及指向复制位置的指针 p 加 1。重复这一过程直至两个输入的子序列有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子序列中剩余记录依次复制到 array 中即可。
合并已排序的序列的具体实现代码：
void mergearray(int a[],int first,int mid,int last,int temp[])
{
int i=first,j=mid+1;
int m=mid,n=last;
int k=0;
while(i<=m&&j<=n)
{
if (a[i]<=a[j])
{
temp[k++]=a[i++];
}
else
{
temp[k++]=a[j++];
}
}
while(i<=m)
{
temp[k++]=a[i++];
}
while(j<=n)
{
temp[k++]=a[j++];
}
for (i=0;i<k;i++)
{
a[first+i]=temp[i];
}
}
归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。
自底向上方法，也就是常说的二路归并排序，其基本思想是：第 1 趟排序将长度为 n 的待排序记录看作 n 个长度为 1 的有序子序列，然后将这些子序列两两合并。完成第 1 趟排序之后，将得到 lgn 个长度为 2 的有序子序列（如果 n 为奇数，则最后还有一个长度为 1 的子序列）。第 2 趟排序是在第 1 趟的排序的基础上，将这 lgn 个长度为 2 的子序列两两合并。如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。从这个排序过程来看，二路归并排序是从将长度为 1 的子序列排序变化到长度为 n 的有序序列，因而是自底向上的。自底向上的二路归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差（循环实现比递归实现一般效率都要高些）。
自低向上的具体实现代码：
void mergesortdowntoup(int a[],int n,int temp[])
{
int length=1;
while(length<n)
{
int i=0;
for (;i+2*length<n;i+=2*length)
{
mergearray(a,i,i+length-1,i+2*length-1,temp);
}
if (i+length<=n-1)
{
mergearray(a,i,i+length-1,n-1,temp);//尚有两个子文件，其中后一个长度小于length,归并最后两个子文件
////注意：若i≤n-1且i+length-1≥n-1时，则剩余一个子文件轮空，无须归并
}
length*=2;
}
}
下面来看看自上而下的递归实现，其可读性要好得多。自上而下的方法是采用分治法思想，具体排序过程分成三个过程：
（1）分解：将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
（2）求解：递归地对两个子区间 array[low..mid] 和 array[mid + 1..high] 进行归并排序；递归的终结条件：子区间长度为 1（一个记录自然有序）。
（3）合并：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid + 1..high]归并为一个有序的区间 array[low..high]。
自上而下的具体实现代码：
void mergesortuptodown(int a[],int first,int last,int temp[])
{
if (first<last)
{
int mid=(first+last)/2;
mergesortuptodown(a,first,mid,temp);
mergesortuptodown(a,mid+1,last,temp);
mergearray(a,first,mid,last,temp);
}
}
归并排序的完整实现代码如下：
// 归并排序.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
void mergearray(int a[],int first,int mid,int last,int temp[])
{
int i=first,j=mid+1;
int m=mid,n=last;
int k=0;
while(i<=m&&j<=n)
{
if (a[i]<=a[j])
{
temp[k++]=a[i++];
}
else
{
temp[k++]=a[j++];
}
}
while(i<=m)
{
temp[k++]=a[i++];
}
while(j<=n)
{
temp[k++]=a[j++];
}
for (i=0;i<k;i++)
{
a[first+i]=temp[i];
}
}
//自上向下归并
void mergesortuptodown(int a[],int first,int last,int temp[])
{
if (first<last)
{
int mid=(first+last)/2;
mergesortuptodown(a,first,mid,temp);
mergesortuptodown(a,mid+1,last,temp);
mergearray(a,first,mid,last,temp);
}
}
//自下向上归并
void mergesortdowntoup(int a[],int n,int temp[])
{
int length=1;
while(length<n)
{
int i=0;
for (;i+2*length<n;i+=2*length)
{
mergearray(a,i,i+length-1,i+2*length-1,temp);
}
if (i+length<=n-1)
{
mergearray(a,i,i+length-1,n-1,temp);//尚有两个子文件，其中后一个长度小于length,归并最后两个子文件
////注意：若i≤n-1且i+length-1≥n-1时，则剩余一个子文件轮空，无须归并
}
length*=2;
}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int num[]={5,2,1,6,7,9,0,4,3,8};
int num1[]={5,2,1,6,7,9,0,4,3,8};
int temp[10];
int temp1[10];
mergesortuptodown(num,0,9,temp);
printf("自上向下的归并排序：");
for (int i=0;i<10;i++)
{
printf("%d ",num[i]);
}
printf("\n");
mergesortdowntoup(num1,10,temp1);
printf("自下向上的归并排序：");
for (int i=0;i<10;i++)
{
printf("%d ",num[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
时间复杂度分析：对长度为 n 的序列进行 lgn 趟二路归并，而每一趟归并的时间复杂度为 O(n)，因此归并排序的平均时间复杂度为 nlgn。
空间复杂度分析：需要与待排记录等大的空间来存储中间变量，因为其空间复杂度为 O(n)。因此，归并排序肯定就不是就地排序了。
补充：归并排序是稳定排序。若归并排序采用链表存储结构的话，实现起来更加高效。
