JZ67 剪绳子

描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1，m<=n），每段绳子的长度记为k[1],...,k[m]。请问k[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述：

输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

返回值描述：

输出答案。

示例1

输入：

8

返回值：

18

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解题思路：
　　这是我第一次涉及到贪心的算法题，本题的关键是要使剪下来的绳子乘积最大，那么当它尽量剪到3的倍数时，可以使得绳子长度的乘积最大。但是当剪到3的倍数，但是余下1时，就应当退回去，采用2*2,使得长度最大化。

贪心

尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。

将绳子拆成 1 和 n-1，则 1(n-1)-n=-1<0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。

将绳子拆成 2 和 n-2，则 2(n-2)-n = n-4，在 n>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。

将绳子拆成 3 和 n-3，则 3(n-3)-n = 2n-9，在 n>=5 时效果更好。

将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2*2，因此效果和拆成 2 一样。

将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5<2*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。

将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6<3*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，在 n>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。

继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。

 

动态规划也能做出此题，每一次选择判断出dp[j]*(i - j)和ij*(i - j)比较，比较出最大的之后，再和之前最大的dp[i]进行比较。就能做出此题啦！