CF1736D

$\mathcal Solution$#

$s^p = s^q$，即满足 $s$ 中可以划分成若干段连续序列，这些序列左半部分和右半部分相等。

【无解】#

显然当 $0/1$ 的个数不是偶数时无解。

其他情况有解。

【证明】#

证明中的函数名请见下面【证明中的函数意义】。

我们可以构造一组解：

把所有 $i \le n$，$a_{2i} \neq a_{2i + 1}$ 的 $2i$ 加入集合 $S$。

当 $i \le n$，$a_{2i} \neq a_{2i+1}$ 时。必然为 $\mathtt{01}$ 或者 $\mathtt{10}$。

则下标 $b_i$ 可以构造为 $\operatorname{one}(S_1), \operatorname{zero}(S_2), \operatorname{one}(S_3), \cdots$。

那么我们知道只有 $\operatorname{size}(S) \bmod 2 = 0$ 时成以上 $b_i$。

此题当有解时一定时 $\operatorname{size}(S) \bmod 2 = 0$。

证明：

当 $i \le n$，$a_{2i} = a_{2i+1}$ 时，$0/1$ 都是 $2$ 的倍数，不需考虑。

当 $i \le n$，$a_{2i} \neq a_{2i+1}$ 时。必然为 $\mathtt{01}$ 或者 $\mathtt{10}$。

当 $\operatorname{size}(S) \bmod 2 \neq 0$ 时，则 $i \le n$，$a_{2i} \neq a_{2i+1}$ 必然出现奇数次，即 $0/1$ 都是奇数次。

与 【无解】 情况矛盾。

最后 $p$ 即为 $1, 3, 5, \cdots, 2n - 1$。

时间复杂度为 $\Theta(n)$。

【证明中的函数意义】#

$\operatorname{one}(i)$ 表示 $a_i$ 与 $a_{i+1}$ 是 $1$ 的位置。

$\operatorname{zero}(i)$ 表示 $a_i$ 与 $a_{i+1}$ 是 $0$ 的位置。

$\operatorname{size}(S)$ 表示集合 $S$ 的大小。

$\mathcal Code$#

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <sstream>
#include <set>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>

#define x first
#define y second
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define cit cin.tie(0)
#define cot cout.tie(0)

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010, M = 100010, MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LLINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;

void solve()
{
	int n;
	string str;
	cin >> n >> str;
	
	int sum = 0;
	for (auto x: str) sum += x == '0';
	if (sum & 1) cout << -1 << endl;
	else
	{
		vector<int> res;
		for (int i = 0; i < n * 2; i += 2)
			if (str[i] != str[i + 1])
			{
				if (str[i] - '0' == res.size() % 2) res.push_back(i + 1);
				else res.push_back(i + 2);
			}
		cout << res.size() << ' ';
		for (auto x: res) cout << x << ' ';
		cout << endl;
		
		for (int i = 1; i <= n * 2; i += 2) cout << i << ' ';
		cout << endl;
	}
}

int main()
{
	IOS;
	cit, cot;
	int T = 1;
	cin >> T;
	while (T -- ) solve();
	return 0;
}