扩展欧几里得算法

　　　　　扩展欧几里得（改）

　　对于 a 、b 不全为0，存在整数 x 和 y 使得 gcd(a,b)=x*a+y*b ; 整数。。。也就是可以是负的。

　　代码：

　　

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
  if(b==0)
  {
    x=1;
    y=0;
    return a;
  }
  int r=exGcd(b,a%b,x,y);
  int t=x;
  x=y;
  y=t-a/b*y;
  return r;
}

　　

　　首先，我们看一下他是怎么形成的。从最后一层往上推：首先b=0 时得到最大公约数 a ，return a; 现在看上一层，从r那句后继续往下运行，可以知道，此后，每次都从r 句 获得已经得到的最大公约数，然后再往下执行。。。

　　规定 a' 、b' 是倒三层的，a、b是倒二层的

　　对于倒二层的a、b来说，有gcd(a,b) = x2*a + y2*b ; （x2=0,y2=1,因为这里b就是公约数） 

　　对于倒三层的a'、b'来说，gcd(a',b') =  x3*a' + y3*b' ;

　　将倒三层的a'和b' 代入倒二层：gcd(a,b) = x2*b' + y2*(a' % b') ;

　　----->因为gcd(a',b') = gcd(a,b)

　　----->所以 x3*a' + y3*b'  =  x2*b' + y2*(a' % b')

　　----->有：x3*a' + y3*b'  =  x2*b' + y2*(a' - a' / b' * b') 【很关键的一步：化解取模】

　　----->整理：x3*a' + y3*b'  =  y2*a' + (x2 - a' / b' * y2)*b' 

　　----->有：x3=y2  、  y3=(x2 - a' / b' * y2)

　　----->两行代码的原因出来了：

　　----->这一层的x等于下一层的y  【就是 x=y; 这一句】

　　----->这一层的y等于下一层的x - a' / b' *y 【就是 y=t-a/b*y; 这一句】

　　这里虽然拿特例：倒二倒三层解释，但由于没有涉及具体的x、y值，所以得出的公式应该是通用的。 这解释了我们代码的写法原因，同时最后一层的a本身就是公约数，b为0，所以x1=1;y1=0;

　　采用递归写法先到底层，然后由底层的x、y逐步上推，得到顶层的x、y，就是我们想求的x、y。。。

　　......

　　注：扩展欧几里得算法可以用于求可逆元等问题中。