BZOJ2440 完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

Hint

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

首先一个非完全平方数就是没有任何一个质因子的次数大于1。

所以我们用容斥来计算这个问题。设数集\(\{S\}\)表示非完全平方数的集合，则\(ans=\sum_{i\in\{S\}}(-1)^{t_{i}}\lfloor \frac{n}{i^{2}}\rfloor\)。其中\(t_{i}表示i的质因数个数\)。

非完全平方数对答案的贡献为0，所以我们比较容易想到莫比乌斯函数\(\mu\)。

所以答案就是\(\sum_{i}\mu(i)\lfloor \frac{n}{i^{2}}\rfloor\)。

注意：i只需要枚举到\(\sqrt k\) 就可以了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<iomanip>
#define ll long long

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int T,k;
int pri[100005];
bool vis[100005];
int mu[100005];
void pre(int n) {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) {
			mu[i]=-1;
			pri[++pri[0]]=i;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0]&&1LL*i*pri[j]<=n;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) {
				mu[i*pri[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

ll l,r,mid;
bool Check(ll n) {
	ll maxx=sqrt(n)+1;
	ll ans=0;
	for(int i=2;i<=maxx;i++) {
		ans-=n/(1ll*i*i)*mu[i];
	}
	return n-ans>=k;
}

int main() {
	pre(100000);
	T=Get();
	while(T--) {
		k=Get();
		l=1,r=3e9;
		while(l<r) {
			mid=l+r>>1;
			if(Check(mid)) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		cout<<l<<"\n";
	}
	return 0;
}