这是一份极其粗糙的莫比乌斯函数学习笔记
这是一份极其粗糙的莫比乌斯函数学习笔记
- 莫比乌斯反演非常巧妙
玄学，它通过__卷积__，和式变换以及最关键的整数分块的有机结合降低了函数的复杂度。
莫比乌斯函数
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\(\mu(d)\) 的定义：
1.当d=1时，\(\mu(d)=1\)；
2.当d唯一分解后有一个质因数的次数大于1，那么\(\mu(d)=0\)
3.否则，设n可以分解为n个不同的质数相乘，则\(\mu(d)=(-1)^{n}\)。
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一些结论：
1.\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\),也就是说，n=1时函数值为1，否则为0。这个用二项式定理来证
2.对于任意正整数n,\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\),证明以后补。
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筛莫比乌斯函数可以用线性筛。
莫比乌斯反演
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定理：
\[\begin{align*} &设f(n)=\sum_{d|n}g(d),\\ &则g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)。 \end{align*} \] -
证明：
\[\begin{align*} &\sum_{d|n}\mu(d)f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)= \\ &\sum_{d|n}\mu(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)\sum_{i|d}f(i)= \\ &\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \end{align*} \] -
还有一种理解方式就是用狄利克雷卷积（用*表示）来理解莫比乌斯反演。下面直接给出几个定理：
设：
1.\(Id(n)=n\)
2.\(\epsilon(n)=[n==1]\)3.\(I(n)=1\)
4.\(\mu 和\phi 就不说了\)。
结论：
1.\(\mu *Id=\epsilon,这就是\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\).
2.\(\mu*Id=\phi\).这个定理可以用容斥来证明。反过来\(\mu*Id=\phi\Longrightarrow Id=\sum_{d|n}\phi(d)\)。用卷积可以证明这个常见的结论。
题目
