#3145. 「APIO 2019」桥梁
#3145. 「APIO 2019」桥梁
题目描述
圣彼得堡市内所有水路长度总和约 282 千米，市内水域面积占城市面积的 7%。——来自维基百科
圣彼得堡位于由 \(m\) 座桥梁连接而成的 \(n\) 个岛屿上。岛屿用 \(1\) 到 \(n\) 的整数编号，桥梁用 \(1\) 到 \(m\) 的整数编号。每座桥连接两个不同的岛屿。有些桥梁是在彼得大帝时代建造的，其中一些是近期建造的。这导致了不同的桥梁可能有不同的重量限制。更具体地，只有重量不超过 \(d_i\) 的汽车才能通过第 \(i\) 座桥梁。有时圣彼得堡的一些桥梁会进行翻新，但这并不一定会使桥梁承重变得更好，也就是说，进行翻新的桥梁的 \(d_i\) 可能会增加或减少。你准备开发一个产品，用于帮助公民和城市客人。目前，你开发的模块要能执行两种类型的操作：
\1. 将桥梁 \(b_j\) 的重量限制改为 \(r_j\)。
\2. 统计一辆重为 \(w_j\) 的汽车从岛屿 \(s_j\) 出发能够到达多少个不同的岛屿。
请你回答所有第二种操作的答案。
输入格式
第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)——表示圣彼得堡的岛屿数量与桥梁数量。
接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(u_i, v_i, d_i\)。第 \(i\) 行的整数描述了一座连接岛屿 \(u_i\) 和 \(v_i\)，初始时重量限制为 \(d_i\) 的桥梁。
接下来一行一个整数 \(q\)——表示操作的数量。
接下来 \(q\) 行按顺序每行描述一个操作。
每行第一个整数 \(t_j\) 表示操作类型：
- 若 \(t_j = 1\)，则该操作是第一种类型，该行接下来给定两个整数 \(b_j\) 和 \(r_j\)，表示桥梁 \(b_j\) 的重量限制将变为 \(r_j\)。
- 若 \(t_j = 2\)，则该操作是第二种类型，该行接下来给定两个整数 \(s_j\) 和 \(w_j\)，表示一辆重为 \(w_j\) 的汽车将要从第 \(s_j\) 个岛屿出发。
输出格式
对于每个第二种类型的询问，输出一行一个整数表示答案。
数据范围与提示
对于全部数据，\(1\le n\le 5\times 10^4,0\le m\le 10^5,1\le q\le 10^5\)。保证 \(1\le u_i,v_i,s_j\le n,u_i\not =v_i,1\le d_i,r_j,w_j\le 10^9,1\le b_j\le m,t_j\in\{1,2\}\)。
我们把一次修改视作产生了两条不同的边，每条边都有一个存在的时间。
将操作序列分块，对每个块内的询问分别处理。将询问的\(w\)升序排列，将出现在这个块之前，并且在这个块之后再消失的边按\(w\)排序。依次处理询问时，依次加入这些边，用路径压缩的并查集。每一次询问时，对于结束时间在这个块内的边，我们暴力判断是否要加入，询问了之后再撤销。这部分用按秩合并的并查集。
复杂度\(O(m\sqrt{mlog(n)})\)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,q;
const int blk=600;
int bel[N];
struct edge {
int x,y,w;
int l,r;
bool operator <(const edge &a)const {return w>a.w;}
}e[N<<1];
bool cmpe(int a,int b) {
return e[a].w>e[b].w;
}
int etot;
int lst[N];
int op[N];
int E[N],pos[N],w[N];
vector<int>que[N/blk+5];
bool cmp(int a,int b) {return w[a]>w[b];}
int fa[N],size[N],dep[N];
int Getf(int v) {return v==fa[v]?v:fa[v]=Getf(fa[v]);}
int Getf2(int v) {
while(v!=fa[v]) v=fa[v];
return v;
}
void Merge(int a,int b) {
a=Getf(a),b=Getf(b);
if(a==b) return ;
fa[a]=b;
size[b]+=size[a];
}
void Init() {for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,size[i]=1,dep[i]=1;}
vector<int>tem;
int L[N],R[N];
struct node {
int x,size,dep;
node() {}
node(int _x,int _size,int _dep) {x=_x,size=_size,dep=_dep;}
};
vector<node>undo;
vector<int>st,st2;
int ans[N];
void Merge(vector<int>&a,vector<int>&b) {
static vector<int>st;
st.clear();
int ta=0,tb=0;
while(ta!=a.size()||tb!=b.size()) {
if(ta==a.size()) st.push_back(b[tb]),tb++;
else if(tb==b.size()) st.push_back(a[ta]),ta++;
else if(e[a[ta]].w>e[b[tb]].w) st.push_back(a[ta]),ta++;
else st.push_back(b[tb]),tb++;
}
a.clear();
for(int i=0;i<st.size();i++) a.push_back(st[i]);
}
int main() {
n=Get(),m=Get();
for(int i=1;i<=m;i++) {
e[i].x=Get(),e[i].y=Get(),e[i].w=Get();
}
q=Get();
for(int i=1;i<=m;i++) {
lst[i]=i;
e[i].l=1,e[i].r=q;
}
etot=m;
int x,y;
for(int i=1;i<=q;i++) {
op[i]=Get();
x=Get(),y=Get();
if(op[i]==1) {
E[i]=++etot;
e[E[i]]=e[lst[x]];
e[E[i]].w=y;
e[lst[x]].r=i-1;
e[E[i]].l=i;
e[E[i]].r=q;
lst[x]=etot;
} else {
pos[i]=x,w[i]=y;
}
}
sort(e+1,e+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++) if(e[i].r) st.push_back(i);
for(int i=1;i<=q;i++) bel[i]=(i-1)/blk+1;
for(int i=1;i<=bel[q];i++) L[i]=(i-1)*blk+1,R[i]=min(q,i*blk);
for(int i=1;i<=q;i++) if(op[i]==2) que[bel[i]].push_back(i);
for(int i=1;i<=bel[q];i++) {
sort(que[i].begin(),que[i].end(),cmp);
Init();
tem.clear();
for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) tem.push_back(E[j]);
int tag=0;
for(int j=0;j<que[i].size();j++) {
int now=que[i][j];
while(tag<st.size()&&e[st[tag]].w>=w[now]) {
if(e[st[tag]].r>=R[i]) {
Merge(e[st[tag]].x,e[st[tag]].y);
} else if(e[st[tag]].r>=L[i]) tem.push_back(st[tag]);
tag++;
}
for(int k=0;k<tem.size();k++) {
int x=e[tem[k]].x,y=e[tem[k]].y;
Getf(x),Getf(y);
}
undo.clear();
for(int k=0;k<tem.size();k++) {
int id=tem[k];
if(e[id].l<=now&&now<=e[id].r&&e[id].w>=w[now]) {
int x=Getf2(e[id].x),y=Getf2(e[id].y);
if(x==y) continue ;
undo.push_back(node(x,size[x],dep[x]));
undo.push_back(node(y,size[y],dep[y]));
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
fa[x]=y;
size[y]+=size[x];
if(dep[x]==dep[y]) dep[y]++;
}
}
ans[now]=size[Getf2(pos[now])];
while(undo.size()) {
node a=undo.back();
undo.pop_back();
fa[a.x]=a.x;
size[a.x]=a.size;
dep[a.x]=a.dep;
}
}
st2.clear();
for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) st2.push_back(E[j]);
sort(st2.begin(),st2.end(),cmpe);
Merge(st,st2);
}
for(int i=1;i<=q;i++) if(ans[i]) {
cout<<ans[i]<<"\n";
}
return 0;
}
