#3144. 「APIO 2019」奇怪装置

#3144. 「APIO 2019」奇怪装置

题目描述

考古学家发现古代文明留下了一种奇怪的装置。该装置包含两个屏幕，分别显示两个整数 \(x\) 和 \(y\)。

经过研究，科学家对该装置得出了一个结论：该装置是一个特殊的时钟，它从过去的某个时间点开始测量经过的时刻数 \(t\)，但该装置的创造者却将 \(t\) 用奇怪的方式显示出来。若从该装置开始测量到现在所经过的时刻数为 \(t\)，装置会显示两个整数：\(x = ((t + \lfloor \frac{t}{B} \rfloor) \bmod A)\)，与 \(y = (t \bmod B)\)。这里 \(\lfloor x\rfloor\) 是下取整函数，表示小于或等于 \(x\) 的最大整数。

考古学家通过进一步研究还发现，该装置的屏幕无法一直工作。实际上，该装置的屏幕只在 \(n\) 个连续的时间区间段中能正常工作。第 \(i\) 个时间段从时刻 \(l_i\) 到时刻 \(r_i\)。现在科学家想要知道有多少个不同的数对 \((x, y)\) 能够在该装置工作时被显示出来。

两个数对 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 不同当且仅当 \(x_1 \not = x_2\) 或 \(y_1 \not = y_2\)。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n, A\) 与 \(B\)。

接下来 \(n\) 行每行两个整数 \(l_i, r_i\)，表示装置可以工作的第 \(i\) 个时间区间。

输出格式

输出一行一个整数表示问题的答案。

数据范围与提示

对于全部数据，\(1\le n\le 10^6,1\le A,B\le 10^{18},0\le l_i\le r_i\le 10^{18},r_i<l_{i+1}\)。

首先这玩意肯定是有环的。找到过后将所有线段平移到环内就可以直接做线段覆盖。

对于一个数\(t\)，首先跟他同构的数可以表示为\(t+k*B\)，因为要保证\(y\)相同。然后\(t\)每增加\(B\)，\(x\)就增加\(B+1\)，增加了\(\frac{A}{\gcd(A,B+1)}\)后有会同构。所以环大小\(\frac{B*A}{\gcd(A,B+1)}\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000005

using namespace std;
inline ll Get() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
ll A,B,len;
struct node {
	ll l,r;
	bool operator <(const node &a)const {
		if(l!=a.l) return l<a.l;
		return r<a.r;
	}
}s[N<<1];
ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}

int main() {
	n=Get(),A=Get(),B=Get();
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i].l=Get(),s[i].r=Get();
	ll g=gcd(A,B+1);
	ll ans=0;
	if((long double)A/g*B>1e18) {
		for(int i=1;i<=n;i++) ans+=s[i].r-s[i].l+1;
	} else {
		ll len=A/g*B;
		int tot=n;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			if(s[i].r-s[i].l+1>=len) {
				cout<<len;
				return 0;
			}
			s[i].l%=len,s[i].r%=len;
			if(s[i].l>s[i].r) {
				s[++tot].l=0,s[tot].r=s[i].r;
				s[i].r=len-1;
			}
		}
		sort(s+1,s+1+tot);
		ll last=-1;
		for(int i=1;i<=tot;i++) {
			if(s[i].r<last) continue ;
			ans+=s[i].r-max(s[i].l-1,last);
			last=s[i].r;
		}
	}
	cout<<ans;
	
	return 0;
}