Loj #2085. 「NOI2016」循环之美

Loj #2085. 「NOI2016」循环之美

题目描述

牛牛是一个热爱算法设计的高中生。在他设计的算法中，常常会使用带小数的数进行计算。牛牛认为，如果在 \(k\) 进制下，一个数的小数部分是纯循环的，那么它就是美的。

现在，牛牛想知道：对于已知的十进制数 \(n\) 和 \(m\)，在 \(k\) 进制下，有多少个数值上互不相等的纯循环小数，可以用分数 \(\frac x y\) 表示，其中 \(1\le x\le n,1\le y\le m\)，且 \(x,y\) 是整数。

一个数是纯循环的，当且仅当其可以写成以下形式：

\[a.\dot{c_1} c_2 c_3 \ldots c_{p - 1} \dot{c_p} \]

其中，\(a\) 是一个整数，\(p\ge1\)；对于 \(1\le i\le p\)，\(c_i\) 是 \(k\) 进制下的一位数字。

例如，在十进制下，\(0.45454545\dots=0.\dot{4}\dot{5}\) 是纯循环的，它可以用 \(\frac 5 {11}\)、\(\frac{10}{22}\) 等分数表示；在十进制下，\(0.1666666\dots=0.1\dot{6}\) 则不是纯循环的，它可以用 \(\frac 1 6\) 等分数表示。

需要特别注意的是，我们认为一个整数是纯循环的，因为它的小数部分可以表示成 \(0\) 的循环或是 \(k-1\) 的循环；而一个小数部分非 \(0\) 的有限小数不是纯循环的。

输入格式

输入文件只有一行，包含三个十进制数 \(n,m,k\)，意义如题所述。

输出格式

只输出一行一个整数，表示满足条件的美的数的个数。

数据范围与提示

对于所有的测试点，保证 \(1\le n\le 10^9\)，\(1\le m\le 10^9\)，\(2\le k\le2000\)。

首先有个结论就是，如果\(\frac{x}{y}\ \gcd(x,y)=1\)是个在\(k\)进制意义下是纯循环小数，那么\(\gcd(y,k)=1\)。

所以：

\[\begin{align} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(j,k)=1]\sum_{d|i,d|j}\mu(d) \end{align} \]

因为\(\gcd(j,k)=1,d|j\)，所以\(\gcd(d,k)=1\)。

\[\begin{align} ans&=\sum_{\gcd(d,k)=1}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[\gcd(j,k)=1]\\ &=\sum_{\gcd(d,k)=1}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[\gcd(j,k)=1]\\ \end{align} \]

这就是一个整除分块的形式了。但是我们还要求出一下两个函数才能求出答案。

\[f(n,k)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,k)=1] \]

\[S(n,k)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,k)=1]\mu(i) \]

先看\(f\)。因为\(\gcd(i,k)=\gcd(i+k,k)\)，所以没\(k\)段中，与\(k\)的互质的数的个数都是相同的。我们先预处理出\(f(1\ldots k,k)\)的值，那么\(f(n,k)=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor f(k,k)+f(n\%k,k)\)。

再来看\(S\)。

\[S(n,k)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,k)=1]\mu(i)\\ =\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{d|i,d|k}\mu(d)\\ =\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i*d) \]

又因为，\(\gcd(i,d)!=1\)时，\(\mu(i*d)=0\)，所以：

\[\begin{align} S(n,k)&=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1,\gcd(i,d)=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i*d)\\ &=\sum_{d|k}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[\gcd(i,d)=1]\mu(i)\\ &=\sum_{d|k}\mu(d)^2S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,d) \end{align} \]

于是可以递归求\(S\)。当递归到\(k=1\)时，答案就是\(\mu\)的前缀和，这个用杜教筛就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define K 2005
#define maxx 1000005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,k;
int gcd(int a,int b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
ll ans;
ll f[K];
int pr[maxx],vis[maxx];
ll u[maxx];
void pre(int n) {
	u[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) pr[++pr[0]]=i,u[i]=-1;
		for(int j=1;j<=pr[0]&&1ll*i*pr[j]<=n;j++) {
			vis[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0) {
				u[i*pr[j]]=0;
				break;
			}
			u[i*pr[j]]=-u[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) u[i]+=u[i-1];
}

map<ll,int>st;
ll Sum(ll n) {
	if(n<=1e6) return u[n];
	if(st.find(n)!=st.end()) return st[n];
	ll ans=1;
	ll last=2,now;
	for(;last<=n;last=now+1) {
		now=n/(n/last);
		ans-=(now-last+1)*Sum(n/last);
	}
	return st[n]=ans;
}

ll cal_f(int n) {return n/k*f[k]+f[n%k];}
map<ll,ll>S[K];
ll cal_S(int n,int k) {
	if(!n) return 0;
	if(S[k].find(n)!=S[k].end()) return S[k][n];
	if(k==1) return S[k][n]=Sum(n);
	ll ans=0;
	for(int d=1;d<=k;d++) {
		if(k%d) continue ;
		ans+=(u[d]-u[d-1])*(u[d]-u[d-1])*cal_S(n/d,d);
	}
	return S[k][n]=ans;
}

int main() {
	pre(1e6);
	n=Get(),m=Get(),k=Get();
	for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=f[i-1]+(gcd(i,k)==1);
	ll now,last=1;
	ll ans=0;
	for(int lim=min(n,m);last<=lim;last=now+1) {
		now=min(n/(n/last),m/(m/last));
		ans+=(cal_S(now,k)-cal_S(last-1,k))*(n/last)*cal_f(m/last);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}