BZOJ 4820 [SDOI2017] 硬币游戏

Description

　　周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币，其他同学记录下正反面情况。用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比如HTT表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出\(n\)个同学，每个同学猜一个长度为\(m\)的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利，为了保证只有一个同学胜利，同学们猜的\(n\)个序列两两不同。很快，\(n\)个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

Input

　　第一行两个整数\(n,m\)。
　　接下里n行，每行一个长度为m的字符串，表示第i个同学猜的序列。
　　\(1<=n,m<=300\)

Output

　　输出n行，第i行表示第i个同学胜利的概率。
　　输出与标准输出的绝对误差不超过\(1e-6\)即视为正确。

Sample Input

3 3
THT
TTH
HTT

Sample Output

0.3333333333
0.2500000000
0.4166666667

数据规模

\(1\leq n,m \leq 300\)

乍一看是 [JSOI2009]有趣的游戏，但是数据范围不支持。于是标解就用了个十分神仙的方法减少了方程数。

我们还是从 [JSOI2009]有趣的游戏 的思路开始分析。我们发现中间状态太多了，所以我们将转移到中间状态的期望设为\(x_0\)。然后\(x_i (1\leq i \leq n)\)表示第\(i\)个人胜利的期望。

因为该题依然期望\(=\)概率，所以依然有\(x_1+x_2+...+x_n=1\)。

然后就是最神仙的方程了。

我们设\(P(i)\)表示在游戏中途(未结束时)出现的所有字符串后面接上第\(i\)个字符串得到的字符串出现的期望。

首先，\(P(i)=\frac{1}{2^m}x_0 .\)我们在任意一个中间状态后面加上第\(i\)个字符串，就可以得到想要的结果。因为每种字符出现概率相同，所以出现第\(i\)个串的概率为\(\frac{1}{2^m}\)。我们再考虑用用其他的变量表示\(P(i)\)。

显然出现了这种字符串代表游戏一定结束了，但是游戏不一定在这个时候结束，赢家不一定是\(i\)，因为可能在插入第\(i\)个串的中途就匹配上了一个字符串。我们发现出现这种情况一定是一个字符串\(j\)的长度为\(k(1\leq k < m)\)的后缀与\(i\)字符串的长度为\(k\)的前缀相同(注意这里\(j\)是可以等于\(i\)的)。画个图就很好理解了。

然后再在后面补上\(m-k\)个字符就可以了。这部分的概率是\(\frac{1}{2^{m-k}}\)。

我们考虑出现上述情况的时候赢家一定是\(j\)，所以第\(i\)个字符串对\(P(i)\)的贡献就是\(g(i,j)=\displaystyle \sum_{k=1}^{m-1}[j的k后缀=i的k前缀]\frac{1}{2^{m-k}}\)。

快速求出所有\(k\)可以考虑用\(kmp\)。

于是我们有列出了\(n\)个方程：$\displaystyle \sum_{j=1}^{ng(i,j)x_j+x_i=\frac{1}{2}m}x_0 $。

然后解方程就行了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<iomanip>
#define ll long long
#define ld long double
#define N 305

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
char s[N][N];
ld a[N][N],pw[N];
int nxt[N];
void Get_nxt(char *s) {
	memset(nxt,0,sizeof(nxt));
	nxt[0]=-1;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int j=nxt[i-1];
		while(j!=-1&&s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
		nxt[i]=j+1; 
	}
}
ld cal(char *s,char *t) {
	int now=0;
	ld ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		while(now!=-1&&s[now+1]!=t[i]) now=nxt[now];
		now++;
	}
	if(now==m) now=nxt[now];
	while(now) {
		ans+=pw[m-now];
		now=nxt[now];
	}
	return ans;
}
ld ans[N];
void Guass() {
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=i;j<=n;j++)
			if(fabs(a[i][i])<fabs(a[j][i])) swap(a[i],a[j]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++) {
			ld tem=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++) a[j][k]-=tem*a[i][k];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		for(int j=n;j>i;j--) {
			a[i][n+1]-=ans[j]*a[i][j];
		}
		ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	}
}

int main() {
	n=Get(),m=Get();
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) pw[i]=pw[i-1]*0.5;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) a[0][i]=1;
	a[0][n+1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		Get_nxt(s[i]);
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			a[i][j]=cal(s[i],s[j]);
		}
		a[i][0]=-pw[m];
		a[i][i]++;
	}
	Guass();
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<fixed<<setprecision(10)<<ans[i]<<"\n";
	return 0;
}