luogu P2764 最小路径覆盖问题

题目描述

给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。

输入输出格式

输入格式：

件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

输出格式：

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例

输入样例#1：

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出样例#1：

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

题解

先假设每个点是一条路径，那么现在有n条路径。

然后考虑一些路径的合并，显然合并尽可能多的路径可以最小化路径条数。

然后考虑网络流建模，对于每个点拆成两个，连二分图

对于边<u,v>，连<\(u_x,v_y\)>，容量为1 。

对于\(x\)的点，连<\(s,x\)>，对于\(y\)，连<\(y,t\)>，容量都为1，这样可以保证每一个点只连一条边出去，只有一条边连向它。

这样，每条增广路都只经过两个点，可以看成合并两条链。

然后求最大流，答案就是\(n-max\_flow\).

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define maxn 5050
const int inf=2e9;

int n,m,s,t,head[maxn],tot=1,dis[2004],vis[2004],max_flow;
struct edge{int to,nxt,w;}e[maxn<<1];

void add(int u,int v,int w) {e[++tot]=(edge){v,head[u],w},head[u]=tot;}
void ins(int u,int v,int w) {add(u,v,w),add(v,u,0);}

int bfs() {
	memset(vis,0,sizeof vis);
	memset(dis,63,sizeof dis);
	queue<int > q;q.push(s),dis[s]=0,vis[s]=1;
	while(!q.empty()) {
		int now=q.front();q.pop(),vis[now]=0;
		for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
			if(dis[e[i].to]>dis[now]+1&&e[i].w>0) {
				dis[e[i].to]=dis[now]+1;
				if(!vis[e[i].to]) vis[e[i].to]=1,q.push(e[i].to);
			}
	}return dis[t]<1e9;
}

int dfs(int x,int f) {
	if(x==t) return vis[x]=1,f;
	vis[x]=1;int used=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(!vis[e[i].to]&&e[i].w>0&&dis[e[i].to]==dis[x]+1) {
			int d=dfs(e[i].to,min(f-used,e[i].w));
			if(d>0) used+=d,e[i].w-=d,e[i^1].w+=d;
			if(used==f) break;
		}
	return used;
}

void dinic() {
	while(bfs()) {
		vis[t]=1;
		while(vis[t]) memset(vis,0,sizeof vis),max_flow+=dfs(s,inf);
	}
}

int nxt[maxn],pre[maxn];

int main() {
	read(n),read(m);s=0,t=n*2+1;
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),ins(x,y+n,1);
	for(int i=1;i<=n;i++) ins(s,i,1),ins(i+n,t,1);
	dinic();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt)
			if(e[j].to!=s&&e[j].w==0) nxt[i]=e[j].to-n,pre[e[j].to-n]=i;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i]) {
			int now=i;
			while(pre[now]) now=pre[now];
			while(nxt[now]) printf("%d ",now),vis[now]=1,now=nxt[now];
			printf("%d\n",now);vis[now]=1;
		}
	write(n-max_flow);
	return 0;
}