[BZOJ4321] queue2

[BZOJ4321] queue2

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4321

Solution

这种题一般套路就是从小到大插入然后\(\rm dp\)。

设\(f_{i,j,0/1}\)表示现在插入了前\(i\)个数，有\(j\)组相邻的数，并且\(i\)和\(i-1\)有没有相邻的方案数，\(0/1\)是方便转移。

那么转移需要分类讨论下：

我们先转移较简单的\(f_{i,j,1}\)：

\[f_{i,j,1}=f_{i-1,j-1,1}+f_{i-1,j,1}+2f_{i-1,j-1,0} \]

这就是枚举填在\(i-1\)的两侧。

\(f_{i,j,0}\)的转移有点复杂：

\[f_{i,j,0}=f_{i-1,j+1,1}\cdot j+f_{i-1,j+1,0}\cdot (j+1) \]

这一部分是让\(i\)插在两个相邻的之间，那么相邻的数量减少\(1\)。

\[f_{i,j,0}=f_{i-1,j,0}\cdot (i-j-2)+f_{i-1,j,1}\cdot (i-j-1) \]

这部分是枚举插在其他地方，那么相邻的数量不变，注意不能插在\(i-1\)的两侧。

复杂度\(O(n^2)\)。

顺便说一下这个数列在\(\rm OEIS\)上有：http://oeis.org/A002464

并且给出了一个\(O(n)\)的递推式：

\[a(n) = (n+1)*a(n-1) - (n-2)*a(n-2) - (n-5)*a(n-3) + (n-3)*a(n-4). \]

但是我并没有搞明白是为什么...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxn = 2e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 7777777;

int n,f[1002][1002][2];

int main() {
    read(n);f[0][0][0]=1,f[1][0][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
        for(int j=0;j<i;j++) {
            f[i][j][1]=(f[i-1][j][1]+f[i-1][j-1][1]+f[i-1][j-1][0]*2)%mod;
            f[i][j][0]=(1ll*f[i-1][j+1][1]*j+1ll*f[i-1][j+1][0]*(j+1))%mod;
            f[i][j][0]=(1ll*f[i-1][j][0]*(i-j-2)+1ll*f[i-1][j][1]*(i-j-1)+f[i][j][0])%mod;
        }
    write(f[n][0][0]);
    return 0;
}