[BZOJ3739] DZY loves math VIII

Description

在XYZ的dzy loves math6问世后，dzy一直觉得这道题答案太大，一点都不优美，于是他随手在外面套上一个μ。同时，他又觉得输入两个数实在太麻烦，于是题目变成了，你能解决这个问题吗？

Input

第一行一个整数T表示询问组数，接下来T行每行一个整数n。

Output

对于每一个询问输出一行表示答案

Sample Input

1
2

Sample Output

0

Solution

喜闻乐见的卡常题。

可以很显然的发现\(\gcd(i,j)\)必然为\(1\)，否则对答案无贡献，所以原式化为：

\[\begin{align} &\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^i\mu(i)\mu(j)[\gcd(i,j)=1]\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^i\mu(i)\mu(j)\sum_{t|i,t|j}\mu(t)\\ =&\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{t|i}\mu(t)\sum_{j=1}^{i/t}\mu(jt) \end{align} \]

把后面那坨设为\(s\)：

\[s(i,t)=\sum_{j=1}^{i/t}\mu(jt) \]

把式子写下来：

\[ans=\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{t|i}\mu(t)s(i,t) \]

注意到\(s\)很显然可以满足这样一个式子：

\[s(i,t)=s(i-1,t)+[t|i]\mu(i) \]

那么我们可以直接离线询问，对询问排序，然后暴力枚举\(i\)，显然若\(\mu(i)\ne 0\)则\(i\)为\(square~free\)数，根据数据范围可得\(i\)的质因子最多只有\(9\)个，然后直接对\(i\)\(O(2^9)\)的爆搜约数，顺便更新答案和\(s\)就好了。

然后这题复杂度很高...常数写小点才能过。

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

const int maxn = 1e7+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;

int mu[maxn],pri[maxn],vis[maxn],tot,s[maxn],n,mn[maxn];
struct data {int v,id,ans;}a[1010];

int cmp(data aa,data b) {return aa.v<b.v;}
int cmp_id(data aa,data b) {return aa.id<b.id;}

void sieve() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++) {
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1,mn[i]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;mn[i*pri[j]]=pri[j];
			if(i%pri[j]==0) break;
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

int sta[20],top;

int dfs(int x,int v,int i) {
	if(v==top+1) return mu[x]*(s[x]+=mu[i]);  //x|i必然成立，所以不用判了，取模运算很慢
	return dfs(x,v+1,i)+dfs(x*sta[v],v+1,i);
}

int main() {
	sieve();read(n);for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i].v),a[i].id=i;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);int p=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=a[n].v;i++) {
		int res=0;
		if(mu[i]) {
			top=0;for(int x=i;x!=1;x/=mn[x]) sta[++top]=mn[x];  //少除几次..然后快了5s
			res=dfs(1,1,i);
		}
		ans+=res*mu[i];
	    while(i==a[p].v) a[p].ans=ans,p++;
	}sort(a+1,a+n+1,cmp_id);
	for(int i=1;i<=n;i++) write(a[i].ans);
	return 0;
}