[BZOJ2553] [BeiJing2011]禁忌

Description

​ Magic Land上的人们总是提起那个传说：他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后，Koishi恢复了读心的能力……

如今，在John已经成为传说的时代，再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。

​ 这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。

​ 为了说明什么是禁忌魔法及其伤害，引入以下概念：

1．字母集A上的每个非空字符串对应了一个魔法。

其中A是包含了前alphabet个小写字母的集合。

2．有一个集合T，包含了N个字母集A上的字符串

T中的每一串称为一个禁忌串（Taboo string）

3．一个魔法，或等价地，其对应的串s因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定：

​ 把s分割成若干段，考虑其中是禁忌串的段的数目，不同的分割可能会有不同的数目，其最大值就是这个伤害。

由于拥有了读心的能力，Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法，可以确定的是，她的魔法正好对应字母集A上所有长度为len的串。

但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的，由于其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到伤害，而Koishi就不同了。可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。

​ 你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的，那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。

Input

第一行包含三个正整数N、len、alphabet。

接下来N行，每行包含一个串Ti，表示禁忌串。

Output

一个非负实数，表示所受到禁忌伤害的期望值。

Sample Input

2 4 2
aa
abb

Sample Output

0.75

Solution

建出\(AC\)自动机，然后\(dp\)。

设\(f[i][j]\)表示\(dp\)到前\(i\)位，当前点在\(AC\)自动机上的\(j\)点的期望，转移就沿着儿子转移就好了，遇到标记点就回到原点然后期望\(+1\)。

注意到这个\(dp\)的第一维很大，每次转移都是一样的，可以矩乘优化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 2e5+10;

char ss[maxn];
int n,len,ab,cnt;
int tr[maxn][26],fail[maxn],vis[maxn];

void ins(char *s) {
	int l=strlen(s+1),now=0;
	for(int v,i=1;i<=l;i++) 
		if(tr[now][v=s[i]-'a']) now=tr[now][v];
		else now=(tr[now][v]=++cnt);
	vis[now]=1;
}

void make_fail() {
	queue<int > q;
	for(int i=0;i<ab;i++) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
	while(!q.empty()) {
		int now=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<ab;i++)
			if(tr[now][i]) fail[tr[now][i]]=tr[fail[now]][i],q.push(tr[now][i]);
			else tr[now][i]=tr[fail[now]][i];
		vis[now]|=vis[fail[now]];
	}
}

#define lf long double

struct Matrix {
	lf r[102][102];

	Matrix () {memset(r,0,sizeof r);}

	lf* operator [] (const int &now) {return r[now];}
	
	Matrix operator * (const Matrix &rhs) const {
		Matrix res;
		for(int i=0;i<=cnt;i++)
			for(int j=0;j<=cnt;j++)
				for(int k=0;k<=cnt;k++)
					res.r[i][j]+=r[i][k]*rhs.r[k][j];
		return res;
	}
}tmp;

Matrix qpow(Matrix a,int x) {
	Matrix res;
	for(int i=0;i<=cnt;i++) res[i][i]=1;
	for(;x;x>>=1,a=a*a) if(x&1) res=res*a;
	return res;
}

int bo[maxn];

int main() {
	read(n),read(len),read(ab);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ss+1),ins(ss);
	make_fail();
	cnt++;lf x=(lf)1.0/ab;
	for(int i=0;i<cnt;i++)
		for(int j=0;j<ab;j++) {
			if(vis[tr[i][j]]) tmp[i][0]+=x,tmp[i][cnt]+=x;
			else tmp[i][tr[i][j]]+=x;
		}
	tmp[cnt][cnt]=1;
	tmp=qpow(tmp,len);
	printf("%.10Lf\n",tmp[0][cnt]);
	return 0;
}