min-max容斥学习笔记
min-max容斥(极值反演)
\(\min-\max\)容斥是说一个这样的式子：
\[\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}
\]
\[\min\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\}
\]
其中\(\min\{S\}\)表示\(S\)集合中的最小元素，\(\max\{S\}\)表示最大元素。
第一个式子证明如下：
我们尝试着给式子配上一个容斥系数\(f\)，那么写出来就是：
\[\max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)\min\{T\}
\]
考虑第\(x+1\)大的元素被统计到的次数，我们可以枚举有多少个集合的最小值为第\(x+1\)大的元素，就是说我们只把前\(x+1\)个元素拿出来，可以得到：
\[res=\sum_{i=1}^{x+1}\binom{x}{i-1}f(i)=\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}f(i+1)
\]
那么我们现在只想把最大的容斥出来，有：
\[[x=0]=\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}f(i+1)
\]
二项式反演一下可得：
\[f(x+1)=\sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}\binom{x}{i}[i=0]
\]
注意这里是把左边当成了\(g(x)=[x=0]\)。
那么化简就是：
\[f(x+1)=(-1)^x
\]
即：
\[f(x)=(-1)^{x-1}=(-1)^{x+1}
\]
证毕。
广义min-max容斥
这玩意说白了就是这个式子：
\[max_k(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)
\]
其中\(max_k(S)\)表示\(S\)集合中第\(k\)大的值是多少。
证明如下：
考虑我们还是想把它容斥出来，那么尝试着配个容斥系数\(f(|T|)\)，则：
\[max_k(S)=\sum_{T\subseteq S}f(|T|)\min(T)
\]
同上，考虑第\(x+1\)大的元素被统计了多少次，可得：把式子抄过来
\[res=\sum_{i=1}^{x+1}\binom{x}{i-1}f(i)=\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}f(i+1)
\]
我们是想把第\(k\)大的容斥出来，其他的都不要，则：
\[\sum_{i=0}^{x}\binom{x}{i}f(i+1)=[x=k-1]
\]
设后面的为\(g(x)=[x=k-1]\)，二项式反演可得：
\[f(x+1)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}{i}g(i)=\sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}\binom{x}{i}[i=k-1]
\]
化简可得：
\[f(x+1)=(-1)^{x-k+1}\binom{x}{k-1}
\]
即：
\[f(x)=(-1)^{x-k}\binom{x-1}{k-1}
\]
得证。
看上面的感觉这玩意还是没有什么用，但是最有用的一点是这玩意在期望的意义下成立，即：
\[E(\max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min\{T\})
\]
\[E(max_k(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\binom{|T|-1}{k-1}E(\min(T))
\]
具体的应用可以看一下下面的习题。
习题
min-max容斥
[LOJ#2542] [PKUWC2018] 随机游走，sol.
广义min-max容斥
