[BZOJ2876] [NOI2012]骑行川藏

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464 

Solution

拉格朗日乘数法模板题。

拉格朗日乘数法是说：

求多元函数\(f(x_1..x_n)\)在满足\(g(x_1..x_n)=0\)的条件下的极值，

构造函数\(F(x_1..x_n,\lambda)=f(x_1..x_n)+\lambda g(x_1..x_n)\)，那么\(F(x_1..x_n,\lambda)\)的驻点就是\(f(x_1..x_n)\)的条件极值的嫌疑点。

那么，我们就可以把条件极值转化成非条件极值。

对于这个题，可以贪心的知道，能量正好耗完的时候最优，所以可以得到：

\[f(x_1..x_n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{s_i}{x_i},g(x_1..x_n)=-E_U+\sum_{i=1}^{n}k_i(x_i-v_i)^2s_i \]

那么引入\(\lambda\)，得到：

\[F(x_1..x_n,\lambda)=f(x_1..x_n)+\lambda g(x_1..x_n) \]

求这个函数的极值，直接对每个变量求偏导数就好了，即：

\[\forall i\in [1,n],\frac{\partial F}{\partial x_i}=-\frac{s_i}{x_i}+2\lambda s_ik_i(x_i-v_i)=0\\ g(x_1..x_n)=0 \]

解出来就是：

\[\lambda=\frac{1}{2k_i(x_i-v_i)x_i^2} \]

可以发现，\(g\)随着\(\lambda\)增大而增大，那么可以二分\(\lambda\)，求出啥时候\(g(x_1..x_n)=0\)，那么此时就取到了\(f\)的极值。

注意到其中得到\(\lambda\)之后是一个三次的方程，可以发现最优答案一定满足\(x_i\geqslant v_i\)，把方程写出来就是：

\[x_i^3-x_i^2v_i=\frac{1}{2k_i\lambda} \]

求导可以发现这个函数单增，那么可以二分得到\(x_i\)。

实数二分直接二分他\(100\)次就好了。

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注意其实拉格朗日乘数法可以扩展到多个限制，对于限制\(\phi_1=0...\phi_k=0\)，对于每个限制引入一个\(\lambda\)，那么就是\(F(x_1..x_n,\lambda_1..\lambda_k)=f(x_1..x_n)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\phi_i\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void read(double &x) {scanf("%lf",&x);}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 2e5+10;

#define lf double 

int n;
lf eu,s[maxn],k[maxn],v[maxn],x[maxn];

lf calc(lf lm,int i) {
	lf l=max(0.0,v[i]),r=1e9;
	for(int t=1;t<=100;t++) {
		lf mid=(l+r)/2.0;
		if(lm*2.0*k[i]*(mid-v[i])*mid*mid>1) r=mid;
		else l=mid;
	}return l;
}

int check(lf mid) {
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=calc(mid,i);
	lf ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=k[i]*(x[i]-v[i])*(x[i]-v[i])*s[i];
	return ans<eu;
}

int main() {
	read(n),read(eu);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(s[i]),read(k[i]),read(v[i]);
	lf l=eps,r=1e9;
	for(int i=1;i<=100;i++) {
		lf mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}
	lf ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=s[i]/x[i];
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}