[BZOJ2876] [NOI2012]骑行川藏
Description
蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响)。某一天他打算骑N段路,每一段内的路况可视为相同:对于第i段路,我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ,其中 si 表示这段路的长度, ki 表示这段路的风阻系数, vi' 表示这段路上的风速(表示在这段路上他遇到了顺风,反之则意味着他将受逆风影响)。若某一时刻在这段路上骑车速度为v,则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2(这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变,则他消耗能量(做功)E = ki ( v - vi' )2 s)。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ,请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。
【评分方法】
本题没有部分分,你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时,才能获得该测试点的满分,否则不得分。
【数据规模与约定】
对于10%的数据,N=1;
对于40%的数据,N<=2;
对于60%的数据,N<=100;
对于80%的数据,N<=1000;
对于所有数据,N <= 10000,0 <= Eu <= 108,0 < si <= 100000,0 < ki <= 1,-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足:蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。
Input
第一行包含一个正整数N和一个实数Eu,分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段,每行有3个实数 si , ki , vi' ,分别表示第 i 段路的长度,风阻系数以及风速。
Output
输出一个实数T,表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间,要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input
3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6
Sample Output
12531.34496464
Solution
拉格朗日乘数法模板题。
拉格朗日乘数法是说:
求多元函数\(f(x_1..x_n)\)在满足\(g(x_1..x_n)=0\)的条件下的极值,
构造函数\(F(x_1..x_n,\lambda)=f(x_1..x_n)+\lambda g(x_1..x_n)\),那么\(F(x_1..x_n,\lambda)\)的驻点就是\(f(x_1..x_n)\)的条件极值的嫌疑点。
那么,我们就可以把条件极值转化成非条件极值。
对于这个题,可以贪心的知道,能量正好耗完的时候最优,所以可以得到:
那么引入\(\lambda\),得到:
求这个函数的极值,直接对每个变量求偏导数就好了,即:
解出来就是:
可以发现,\(g\)随着\(\lambda\)增大而增大,那么可以二分\(\lambda\),求出啥时候\(g(x_1..x_n)=0\),那么此时就取到了\(f\)的极值。
注意到其中得到\(\lambda\)之后是一个三次的方程,可以发现最优答案一定满足\(x_i\geqslant v_i\),把方程写出来就是:
求导可以发现这个函数单增,那么可以二分得到\(x_i\)。
实数二分直接二分他\(100\)次就好了。
注意其实拉格朗日乘数法可以扩展到多个限制,对于限制\(\phi_1=0...\phi_k=0\),对于每个限制引入一个\(\lambda\),那么就是\(F(x_1..x_n,\lambda_1..\lambda_k)=f(x_1..x_n)+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\phi_i\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void read(double &x) {scanf("%lf",&x);}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
const int maxn = 2e5+10;
#define lf double
int n;
lf eu,s[maxn],k[maxn],v[maxn],x[maxn];
lf calc(lf lm,int i) {
lf l=max(0.0,v[i]),r=1e9;
for(int t=1;t<=100;t++) {
lf mid=(l+r)/2.0;
if(lm*2.0*k[i]*(mid-v[i])*mid*mid>1) r=mid;
else l=mid;
}return l;
}
int check(lf mid) {
for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=calc(mid,i);
lf ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=k[i]*(x[i]-v[i])*(x[i]-v[i])*s[i];
return ans<eu;
}
int main() {
read(n),read(eu);
for(int i=1;i<=n;i++) read(s[i]),read(k[i]),read(v[i]);
lf l=eps,r=1e9;
for(int i=1;i<=100;i++) {
lf mid=(l+r)/2.0;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
lf ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=s[i]/x[i];
printf("%.10lf\n",ans);
return 0;
}