[bzoj1045] [HAOI2008] 糖果传递

Description

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

第一行一个正整数nn<=1'000'000，表示小朋友的个数．

接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的糖果的颗数．

Output

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

Solution

设\(x_i\)表示第\(i\)个人给了第\(i-1\)个人多少，负数表示反着给，\(x_1\)表示\(1\)号给\(n\)号。

设\(s=\sum_{i=1}^{n}a_i/n\)，即平均数。

所以显然可以得到一系列等式：

\[s=a_1-x_1+x_2\\ s=a_2-x_2+x_3\\ \vdots \\ s=a_n-x_n+x_1 \]

但是注意到最后一个可以被前面的推出来，所以不能解出\(x\)，可以考虑用\(x_1\)表示剩下的\(x\)，得：

\[x_2=s-a_1+x_1\\ x_3=2s-a_1-a_2+x_1\\\vdots\\ x_n=a_n-s+x_1=(n-1)s-\sum_{i=1}^{n-1}a_i+x_1 \]

然后可以发现前面那一块可以\(O(n)\)算出来，设为\(c_i\)，那么问题就转化为了最小化：

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}|c_i-x| \]

这个可以看成一维数轴上一个点和一堆确定的点的距离和，取中点就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 1e6+10;

int n,a[maxn],c[maxn],ans;

signed main() {
	read(n);int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),sum+=a[i];sum/=n;
	for(int i=2;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+sum-a[i-1];
	int mid=(n+1)>>1;nth_element(c+1,c+mid,c+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(c[mid]-c[i]);write(ans);
	return 0;
}