[bzoj1041] [HAOI2008]圆上的整点

Description

求一个给定的圆(\(x^2+y^2=r^2\))，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

Solution

已知\(x^2+y^2=r^2\)，考虑枚举\(x\)，那么合法的方案就是要满足\(r^2-x^2=(r+x)(r-x)\)为完全平方数。

设\(d=\gcd(r+x,r-x),A=(r-x)/d,B=(r+x)/d\),

那么就化为了\(d^2\cdot AB\)为完全平方数，即\(AB\)为完全平方数且\(\gcd(A,B)=1\)。

所以\(A\)和\(B\)必然也是完全平方数，设\(a^2=A,b^2=B\)。

注意到：

\[a^2=\frac{r-x}{d},b^2=\frac{r+x}{d} \]

两式相加得：

\[a^2+b^2=\frac{2r}{d} \]

其中\(\gcd(a,b)=1,a\leqslant b,2\cdot r|d\)，那么由于\(2r\)的约数不会有很多，到这里就可以\(O(\sqrt{r})\)的枚举约数，然后每次\(O(\sqrt{d}+\sqrt{r/d})\)的枚举\(a\)，若合法则答案加一，这样是足以通过的。

注意到这里只统计了\(a> 0,b> 0\)的情况，还要加上坐标轴上的四个点和其他三个象限的点，设先前统计的个数为\(cnt\)，那么答案就是\(cnt*4+4\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 2e5+10;
const double eps = 1e-10;

int check(int a,double x) {
	if(x-floor(x)<eps) {
		int b=floor(x);
		if(__gcd(a,b)==1&&a!=b) return 1;
	}return 0;
}

signed main() {
	int r,ans=0;read(r);
	for(int i=1;i*i<=r*2;i++) {
		if((r*2)%i) continue;
		for(int a=1;a*a*2<=r*2/i;a++) if(check(a,sqrt(r*2/i-a*a))) ans++;
		if(i*i==r*2) continue;
		for(int a=1;a*a*2<=i;a++) if(check(a,sqrt(i-a*a))) ans++;
	}write(ans*4+4);
	return 0;
}