[bzoj1027] [JSOI2007]合金

Description

　　某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

　　第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m +
n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。

Output

　　一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

10 10
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0

Sample Output

5

Solution

好题。

由于保证了\(a+b+c=1\)，那么实际上只要两个就够了，第三个可以去掉。

注意到对于两种合金，将其以任意比例混合，若将一种合金看成二维平面上的一个点，那么混合之后的合金一定在两点连线这条线段上。(不理解可以了解一下定比分点公式？)

那么问题就变成了，求包围一堆点的点数最小的多边形，这个是因为多边形内的任意一点都必然在一个顶点和一条边上的一个点的连线上。

然后对于每一条线段，看成两个向量，判一下是不是所有点都在他右边，如果是，那么这个向量合法。

然后\(floyd\)求出最小的环就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

#define write(x) printf("%d\n",x)
#define lf double 

const int maxn = 550;
const lf eps = 1e-8;

int n,m,dis[maxn][maxn];

struct point {
	lf x,y;
	lf operator * (const point &rhs) const {return x*rhs.y-y*rhs.x;}	
	point operator - (const point &rhs) const {return (point){x-rhs.x,y-rhs.y};}
}p[maxn],c[maxn];

int main() {
	read(n),read(m);lf _;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y,&_);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lf%lf%lf",&c[i].x,&c[i].y,&_);
	
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int flag=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) if(fabs(c[i].x-p[j].x)>eps||fabs(c[i].y-p[j].y)>eps) flag=0;	
		if(flag) return puts("1"),0;
	}
	
	memset(dis,63,sizeof dis);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			int flag=1;if(fabs(p[i].x-p[j].x)<eps&&fabs(p[i].y-p[j].y)<eps) continue;
			for(int k=1;k<=m;k++) if((p[j]-p[i])*(c[k]-p[i])>eps) {flag=0;break;}
			if(flag) for(int k=1;k<=m;k++) 
				if(fabs((p[j]-p[i])*(c[k]-p[i]))<eps) 
					if(c[k].x>max(p[i].x,p[j].x)||c[k].x<min(p[i].x,p[j].x)) {flag=0;break;}
			if(flag) dis[i][j]=1;
		}
	
	for(int k=1;k<=n;k++) 
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			for(int j=1;j<=n;j++) 
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
				
	int ans=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dis[i][i]);
	if(ans==1e9) puts("-1");else write(ans);
	return 0;
}