[bzoj1005] [HNOI2008]明明的烦恼

Description

　　自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在
任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

　　第一行为N(0 < N < = 1000),
接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

　　一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

Solution

对于任意一颗树，它和它的\(prufer\)序列都是一一对应的，并且若一个点的度数为\(d\)，那么这个点会在\(prufer\)序列上出现\(d-1\)次，那么我们可以据此来计数。

先考虑那些点度确定了的点，设共有\(cnt\)个点，令\(sum=\sum_{i=1}^{cnt}d_i-1\)，则这部分的答案显然就是：

\[ans=\binom{n-2}{sum}\cdot \frac{sum!}{\prod_{i=1}^{cnt}(d_i-1)!} \]

然后考虑没确定点度的那些点，现在还剩下\(n-2-sum\)个位置，每个位置有\(n-cnt\)个填法，所以这部分的方案就是：

\[(n-cnt)^{n-2-sum} \]

然后乘起来化简一下就是：

\[ans=\frac{(n-2)!\cdot (n-cnt)^{n-2-sum}}{(n-2-sum)!\cdot \prod_{i=1}^{cnt}(d_i-1)!} \]

然后除法可以质因子分解，最后高精度乘起来就好了。

(话说这种数数题没有模数是真的过分。。我反正很久没有写高精度了)

(范围很小我就全程暴力了，有很大优化空间的)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

#define write(x) printf("%d\n",x)

const int maxn = 2e5+10;

struct data {int a,b;};

int d[maxn],r[maxn];
vector <data > s[maxn];

void inc(int x,int op) {
	int sz=s[x].size();
	for(int i=0;i<sz;i++) r[s[x][i].a]+=op*s[x][i].b;	
}

void fac(int x,int op) {
	for(int i=2;i<=x;i++) inc(i,op);	
}

struct bignum {
	int a[maxn],len;
	void operator *= (const int &rhs) {
		for(int i=1;i<=len;i++) a[i]*=rhs;
		for(int i=1;i<=len;i++) a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
		if(a[len+1]) len++;
		while(a[len]>10) a[len+1]+=a[len]/10,a[len]%=10,len++;
	}
	void print() {
		while(!a[len]&&len) len--;
		for(int i=len;i;i--) putchar(a[i]+'0');puts("");	
	}
};

int main() {
	int n,sum=0,cnt=0;read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(d[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]!=-1) sum+=d[i]-1,cnt++;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		int x=i;
		for(int j=2;j*j<=i;j++) 
			if(x%j==0) {
				int c=0;
				while(x%j==0) x/=j,c++;
				s[i].push_back((data){j,c});
			}
		if(x!=1) s[i].push_back((data){x,1});
	}
	fac(n-2,1);fac(n-2-sum,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(d[i]!=-1) fac(d[i]-1,-1);
	inc(n-cnt,n-2-sum);
	bignum x;x.a[x.len=1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(r[i]) {
			for(int j=1;j<=r[i];j++) x*=i;	
		}
	x.print();
	return 0;
}