[bzoj3527] [ZJOI2014]力

Description

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.

Input

第一行一个整数n。

接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

n≤100000，0<qi<1000000000

Output

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

Sample Input

5
4006373.885184
15375036.435759
1717456.469144
8514941.004912
1410681.345880

Sample Output

-16838672.693
3439.793
7509018.566
4595686.886
10903040.872

Solution

题目让求的是：

\[E_k=\sum_{i=1}^{k-1}q_i\frac{1}{(k-i)^2}-\sum_{i=k+1}^{n}q_i\frac{1}{(i-k)^2} \]

令：

\[A_i=q_i,B_i=q_{n-i+1},C_i=\frac{1}{i^2} \]

其实\(B\)就是\(q\)数组的\(reverse\)。

那么答案就是：

\[\begin{align} E_k&=\sum_{i=1}^{k-1}A_iC_{k-i}-\sum_{i=k+1}^{n}A_iC_{i-k}\\ &=\sum_{i=1}^{k-1}A_iC_{k-i}-\sum_{i=k+1}^nB_{n-i+1}C_{i-k}\\ &=\sum_{i=1}^{k-1}A_iC_{k-i}-\sum_{i=1}^{n-k}B_{n-k-i+1}C_{i}\\ \end{align} \]

然后两项都是卷积的形式，直接\(FFT\)优化就好了。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 1e6+10;

#define lf double 

struct complex {
	lf r,i;
	complex () {}
	complex (lf _r,lf _i) {r=_r,i=_i;}
	complex operator - (const complex &rhs) const {return complex(r-rhs.r,i-rhs.i);}
	complex operator + (const complex &rhs) const {return complex(r+rhs.r,i+rhs.i);}
	complex operator * (const complex &rhs) const {return complex(r*rhs.r-i*rhs.i,r*rhs.i+i*rhs.r);}
};

int pos[maxn],N,bit,n;
complex a[maxn],b[maxn],c[maxn];

const lf pi = acos(-1);

void fft(complex *r,int op) {
	for(int i=0;i<N;i++) if(pos[i]>i) swap(r[i],r[pos[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1) {
		complex wn=complex(cos(pi/i),op*sin(pi/i));
		for(int j=0;j<N;j+=(i<<1)) {
			complex w=complex(1,0);
			for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) {
				complex x=r[j+k],y=w*r[i+j+k];
				r[j+k]=x+y,r[i+j+k]=x-y;
			}
		}
	}
	if(op==-1) for(int i=0;i<N;i++) r[i].r/=N,r[i].i=0;
}

int main() {
	read(n);
	N=1,bit=0;while(N<=(n<<1)) N<<=1,bit++;
	for(int i=0;i<N;i++) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<(bit-1));
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].r),b[n-i+1]=a[i],c[i].r=1.00/i/i;  //注意这里千万不要写成1.00/(i*i)，否则会爆int
	fft(a,1),fft(b,1),fft(c,1);
	for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*c[i],b[i]=b[i]*c[i];
	fft(a,-1),fft(b,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf\n",a[i].r-b[n-i+1].r);
	return 0;
}