[bzoj5473] 仙人掌

Description

有一个n个点，m个边的仙人掌。所谓仙人掌，就是任何一个点至多属于一个环。

每个边有1/2的概率被删掉。问期望剩下多少个边联通块。

所谓边联通块，就是问剩下的边，构成多少个联通块，单独一个点不算做联通块。

输出答案乘以2m之后mod1000000007的结果。

Input

第一行两个整数n,m。以下m行，每行两个整数x,y，表示树的一条边。

1≤n≤1000000。

Output

一行一个整数表示答案

Sample Input

3 2
1 2
2 3

Sample Output

3

Solution

考虑每条边的贡献。

设一开始所有边都失效，答案为\(2^m\cdot n\)

对于每条边，会连接两个联通块，贡献为\(-2^{m-1}\)，这部分总贡献为\(-m\cdot 2^{m-1}\)

由于是仙人掌，对于每个简单环，会有一条边没有负贡献，所以要加回来，这部分是\(2^{m-len}\)

然后对于单独的点，不能成为一个联通块，会对答案产生\(-2^{m-deg_i}\)的贡献。

反正瞎写就完事

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 2e6+10;
const int mod = 1000000007;

int head[maxn],tot,dep[maxn],n,m,deg[maxn];
struct edge{int to,nxt;}e[maxn<<1];

void add(int u,int v) {e[++tot]=(edge){v,head[u]},head[u]=tot;}
void ins(int u,int v) {add(u,v),add(v,u);}

vector <int > len;

void dfs(int x,int fa) {
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to!=fa) {
			if(!dep[e[i].to]) dfs(e[i].to,x);
			else if(dep[e[i].to]<dep[x]) len.push_back(dep[x]-dep[e[i].to]+1);
		}
}

int qpow(int a,int x) {
	int res=1;
	for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
	return res;
}

int main() {
	read(n),read(m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),ins(x,y),deg[x]++,deg[y]++;
	dfs(1,0);
	int ans=1ll*qpow(2,m)*n%mod;
	ans=(ans-1ll*qpow(2,m-1)*m%mod)%mod;
	for(vector <int > :: iterator it=len.begin();it!=len.end();it++)
		ans=(ans+qpow(2,m-(*it)))%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans-qpow(2,m-deg[i]))%mod;
	write((ans%mod+mod)%mod);
	return 0;
}