[bzoj2671] Calc

Description

给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：

1. 1<=a<b<=N
2. a+b整除a*b　

Input

　一行一个数N

Output

　一行一个数表示答案

Sample Input

15

Sample Output

4

Solution

题目求的是：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n[i+j|ij] \]

不妨设\(d=(i,j),x\cdot d=i,y\cdot d =j\)，那么后面的式子就是：

\[d(x+y)|xyd^2\\ x+y|xyd \]

因为\(x \perp y\)，可得：

\[x+y|d \]

设\(d=k(x+y)\)，得\(j=yk(x+y)\leqslant n\)，所以对于互质的数对\(x,y\)，有\(\lfloor\frac{n}{y(x+y)}\rfloor\)的贡献。

考虑到\(y(x+y)\leqslant n\)，有\(y\leqslant\sqrt{n}\)，所以答案就是：

\[ans=\sum_{y=1}^\sqrt{n}\sum_{x=1}^{\min(\sqrt{n},y-1)}[(x,y)=1]\lfloor\frac{n}{y(x+y)}\rfloor \]

然后莫反下可得：

\[ans=\sum_{d=1}^\sqrt{n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{\sqrt{n}}{d}\rfloor}\sum_{x=1}^{y-1}\lfloor\frac{n}{d^2y(x+y)}\rfloor \]

然后后面数论分块下然后全程暴力，(凭借信仰过掉此题)

考虑下时间复杂度，总枚举次数大概是：

\[\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\frac{\sqrt{n}}{i}\sqrt{\frac{\sqrt{n}}{i}}=n^{\frac{3}{4}}\cdot \sum_{i=1}^{\sqrt{n}}i^{-\frac{3}{2}} \]

(因为后面不会算)带入数据可得后面那个\(\sum\)大概是2，所以总复杂度就是\(O(n^\frac{3}{4})\)

update: 后面那个是黎曼函数\(\zeta(x)=\sum_{i=1}^\infty i^{-x}\)，可以证明当\(x=1.5\)时这个函数值收敛，且趋近于\(2.6\)左右，可以看作是\(O(1)\)，具体证明可以看\(wikipedia\)，虽然我也不会。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

#define ONLINE_JUDGE

#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar() ((p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin)),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif

namespace fast_IO {
	char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

	template <typename T> inline void read(T &x) {
		x=0;T f=1;char ch=getchar();
		for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
		for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
	}
	template <typename T,typename... Args> inline void read(T& x,Args& ...args) {
		read(x),read(args...);
	}

	char buf2[1<<21],a[80];int p,p3=-1;

	inline void flush() {fwrite(buf2,1,p3+1,stdout),p3=-1;}
	template <typename T> inline void write(T x) {
		if(p3>(1<<20)) flush();
		if(x<0) buf2[++p3]='-',x=-x;
		do {a[++p]=x%10+48;} while(x/=10);
		do {buf2[++p3]=a[p];} while(--p);
		buf2[++p3]='\n';
	}
	template <typename T,typename... Args> inline void write(T x,Args ...args) {
		write(x),write(args...);
	}
}

using fast_IO :: read;
using fast_IO :: write;
using fast_IO :: flush;

const int maxn = 1e5+10;

int vis[maxn],mu[maxn],pri[maxn],tot;

void sieve() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++) {
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

int calc(int n,int m) {
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int t=n/i,T=i+1;
		while(T<=t&&T<i*2) {
			int pre=T;T=min(i*2-1,t/(t/T));
			ans+=(T-pre+1)*(t/T);T++;
		}
	}return ans;
}

signed main() {
	sieve();
	int n,ans=0,m;read(n);m=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=m;i++) if(mu[i]) ans+=calc(n/(i*i),m/i)*mu[i];
	write(ans);
	flush();
	return 0;
}