[bzoj2005] [NOI2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

 36

【样例输出2】

20

Solution

可以发现题目让我们求：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m2(i,j)-1=2\cdot \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i,j)-nm \]

然后把中间那一项莫反下得：

\[\begin{align} &\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m(i,j)\\ =&\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=d]\\ =&\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[(i,j)=1]\\ =&\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{t|i\&t|j}\mu(t)\\ =&\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{t=1}^{min(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)}\mu(t)\lfloor\frac{n}{dt}\rfloor\lfloor\frac{m}{dt}\rfloor\\ =&\sum_{T=1}^{min(n,m)}\sum_{d|T}\frac{T}{d}\mu(d)\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\\ \end{align} \]

中间那一项暴力预处理就行。复杂度\(O(n\log n+\sqrt{n})=O(n\log n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ONLINE_JUDGE

#define int long long 

#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar() ((p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin)),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif

namespace fast_IO {
	char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

	template <typename T> inline void read(T &x) {
		x=0;T f=1;char ch=getchar();
		for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
		for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
	}
	template <typename T,typename... Args> inline void read(T& x,Args& ...args) {
		read(x),read(args...);
	}

	char buf2[1<<21],a[80];int p,p3=-1;

	inline void flush() {fwrite(buf2,1,p3+1,stdout),p3=-1;}
	template <typename T> inline void write(T x) {
		if(p3>(1<<20)) flush();
		if(x<0) buf2[++p3]='-',x=-x;
		do {a[++p]=x%10+48;} while(x/=10);
		do {buf2[++p3]=a[p];} while(--p);
		buf2[++p3]='\n';
	}
	template <typename T,typename... Args> inline void write(T x,Args ...args) {
		write(x),write(args...);
	}
}

using fast_IO :: read;
using fast_IO :: write;
using fast_IO :: flush;

const int maxn = 1e5+10;

int n,m,pri[maxn],mu[maxn],tot,vis[maxn],f[maxn];

void sieve() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++) {
		if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) {mu[i*pri[j]]=0;break;}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<maxn;i++)
		for(int j=i;j<maxn;j+=i)
			f[j]+=mu[i]*(j/i);
	for(int i=1;i<maxn;i++) f[i]=f[i]+f[i-1];
}

signed main() {
	read(n,m);sieve();
	int T=1,ans=0;
	while(T<=n&&T<=m) {
		int pre=T;T=min(n/(n/T),m/(m/T));
		ans=ans+(n/T)*(m/T)*(f[T]-f[pre-1]);T++;
	}write(ans*2-n*m);
	flush();
	return 0;
}