[bzoj4008] [HNOI2015]亚瑟王

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。 本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。

玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；

否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，

考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。

接下来一共 T 组数据。

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r，分别代表卡牌的张数和

游戏的轮数。

接下来 n行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第

i 行的两个数为 pi和 di，分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动

造成的伤害（整数）。保证 pi最多包含 4位小数，且为一个合法的概率。

Output

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过

10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。

建议输出10 位小数。

Sample Input

1 
3 2 
0.5000 2 
0.3000 3 
0.9000 1 

Sample Output

3.2660250000 

Solution

神仙题。。

换个角度考虑这个题，期望其实就是每张牌出现的概率乘以每张牌的全职。

设第\(i\)张牌出现的概率为\(g(i)\)，对于第一张牌，显然有：

\[g(1)=1-(1-p_1)^{r} \]

其中\(p_i\)表示第\(i\)张牌发动的概率，那么\(1-p_1\)就是不发动的概率，后面一块就是一直不出第一张牌的概率。

由于题目有个奇怪的限制，即打出一张牌之后立即终止这一轮，所以后面的\(g\)并不是这么好求。

脑洞时间！(才不会说是我太蠢了想不到呢)

设\(f(i,j)\)表示\(r\)轮都打完了后，前\(i\)张牌共打出了\(j\)张的概率。

想到这个之后，转移也比较显然：

第一种情况：

第\(i\)张牌没有打出来，那么可以从\(f(i-1,j)\)转移过来，即：

\[f(i,j)+=f(i-1,j)\cdot(1-p_i)^{r-j} \]

其中\(r-j\)是因为有\(j\)轮已经选了比\(i\)小的牌，不会算到第\(i\)张牌，剩下的\(r-j\)轮不出。

第二种情况：

第\(i\)张牌打出来了，那么可以从\(f(i-1,j-1)\)转移过来，即：

\[f(i,j)+=f(i-1,j-1)\cdot(1-(1-p_i)^{r-j+1}) \]

理由也差不多。

那么，后面的\(g\)也就可以求了，可以由\(f\)转移过来，即：

\[g(i)=\sum_{j=0}^{r}f(i-1,j)\cdot(1-(1-p_j)^{r-j}) \]

综合起来，代码也比较好写，有点细节啥的注意下就好了。

注意\((1-p_i)^j\)可以预处理出来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double 

int n,r,d[221];
lf p[221],g[221],f[221][221],pw[221][221];

void solve() {
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]),read(d[i]);
	memset(g,0,sizeof g);
	memset(f,0,sizeof f);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		pw[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=r;j++)
			pw[i][j]=pw[i][j-1]*(1-p[i]);
	}
	f[1][0]=pw[1][r],f[1][1]=1-f[1][0];
	for(int i=2;i<=n;i++) 
		for(int j=0;j<=r;j++) {
			f[i][j]+=f[i-1][j]*pw[i][r-j];
			if(j) f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1-pw[i][r-j+1]);
		}
	g[1]=1-pw[1][r];
	for(int i=2;i<=n;i++) 
		for(int j=0;j<=r;j++)
			g[i]+=f[i-1][j]*(1-pw[i][r-j]);
	lf ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=g[i]*(lf)d[i];
	printf("%.10lf\n",ans);
}

int main() {
	int t;read(t);
	while(t--) read(n),read(r),solve();
	return 0;
}