[bzoj3622] 已经没有什么好害怕的了

Description

Input

Output

Sample Input

4 2
5 35 15 45
40 20 10 30

Sample Output

4

HINT

输入的2*n个数字保证全不相同。

还有输入应该是第二行是糖果，第三行是药片

题解

前置知识 ： 广义容斥原理

首先很显然可以知道，题目要求的是要配对恰好\((n+k)/2\)个第一行比第二行大的方案数。

对于第一行和第二行从小到大分别排序下，

然后设\(f_{i,j}\)表示考虑到第一行第i个数了，有至少j个配对成功的方案数。

对于第一行的第i个数，设\(num_i\)表示第二行有多少个数小于它，

然后可以得到\(f\)的转移：

\[f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-1)*max(0,num_i-j+1) \]

然后考虑求恰好k个的方案数，考虑容斥，答案为：

\[\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} \binom{k}{i} f(n,i)*(n-i)! \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define int long long
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
 
#define maxn 2050
 
const int mod = 1e9+9;
 
int n,f[maxn][maxn],fac[maxn],ifac[maxn],k,num[maxn],a[maxn],b[maxn];
 
int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
 
signed main() {
    read(n),read(k);fac[0]=ifac[0]=f[0][0]=1;
    if((n^k)&1) return puts("0"),0;
    k=(n+k)>>1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;//,write(ifac[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
    sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);int p=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(a[i]>b[p]&&p<=n) p++;p--;num[i]=p;
    }//for(int i=1;i<=n;i++) write(num[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        f[i][0]=f[i-1][0];
        for(int j=1;j<=i;j++) f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*max(0ll,num[i]-j+1))%mod;
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) write(f[n][i]);
    int ans=0;
    for(int op=-1,i=k;i<=n;i++) {
        op=-op;//write(op*fac[i]*ifac[k]%mod*ifac[i-k]%mod);
        f[n][i]=f[n][i]*fac[n-i]%mod;
        ans=(ans+op*fac[i]*ifac[k]%mod*ifac[i-k]%mod*f[n][i]%mod)%mod;
    }write((ans%mod+mod)%mod);
    return 0;
}