[bzoj2863] 愤怒的元首

Description

   Pty生活在一个奇葩的国家，这个国家有n个城市，编号为1~n。

   每个城市到达其他城市的路径都是有向的。

   不存在两个城市可以互相到达。

这个国家的元首现在很愤怒，他大喊一声“气死偶咧！”，然后决定把所有的路径都毁掉再重建。

元首想知道有多少种重建的方案使得这个国家仍然奇葩。

Input

第一行一个整数：n

Output

   输出n个城市的重建方案数mod(10^9+7)的结果

Hint：基图不连通也是合法方案

Sample Input

3

Sample Output

25

HINT

n <= 3000

Source

题解

bzoj题目链接(权限题)

前置知识：容斥原理

题解

求\(n\)个点的\(DAG\)（有向无环图）的个数。

设\(f(i)\)为\(i\)个点的\(DAG\)的个数。

对于\(n\)个点的\(DAG\)的个数，考虑至少有\(i\)个入度为\(0\)的点的方案为：

\[f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} \]

可以考虑选出了\(i\)个点，剩下的点和选出的点随便连的方案数。

然后注意到恰好\(0\)个入度为\(0\)的点的方案数为\(0\)，由容斥原理可得：

\[\sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)}=0 \]

移项可得：

\[f(n)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} f(n-i) \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define int long long
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
 
#define maxn 10050
#define mod 1000000007
 
int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
 
int f[maxn],fac[maxn],ifac[maxn];
 
signed main() {
    int n;read(n);fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    f[1]=f[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
        for(int j=1,op=-1;j<=i;j++) op*=-1,f[i]=(f[i]+op*f[i-j]*qpow(2,j*(i-j))%mod*fac[i]%mod*ifac[i-j]%mod*ifac[j]%mod)%mod;
    write((f[n]+mod)%mod);//cerr << (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}