[Violet]樱花
题目链接
前置技能
- 初中基础的因式分解
- 线性筛
- \(O(nlog)\)的分解质因数
- 唯一分解定理
题解
首先来分解一下式子
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]
通分可化为:
\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}
\]
两边同时乘\(xy*(n!)\)
\[(x+y)n!=xy
\]
移项得:
\[xy-(x+y)n!=0
\]
两边同时加上\((n!)^2\)
\[xy-(x+y)n!+(n!)^2=(n!)^2
\]
通过十字相乘可因式分解为:
\[(x-n!)(y-n!)=(n!)^2
\]
\[∵\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]
\[∴x,y>n!
\]
又因为\(x,y\)为正整数,所以\((x-n!),(y-n!)\)也为正整数,所以我们不妨令
\[X=(x-n!),Y=(y-n!)
\]
则原式可以化为:
\[XY=(n!)^2
\]
根据唯一分解定理可知
\[n!=P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}...P_n^{a_n}(p_i为质数)
\]
\((n!)^2\)的因数个数为:
\[(2*a_1+1)*(2*a_2+1)*(2*a_3+1)*...*(2*a_n+1)
\]
所以我们只要算出\(a_1,a_2,a_3...a_n\)就好了
至于怎么算,线性筛一遍,在分解质因数,求\(a_i\)就好了
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000000;
const int mod = 1e9+7;
int prime[N+1],a[N+1],js,v[N+1],c[N+1];
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
void pd(){
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!prime[i]) a[++js]=i,v[i]=i;
for(int j=1;j<=js;j++){
if(i*a[j]>N) break;
prime[i*a[j]]=1;
v[i*a[j]]=a[j];
}
}
}
main(){
int n=read(),x,ans=1;
pd();
v[1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j!=1;j/=v[j])
c[v[j]]++;
for(int i=1;i<=N;i++)
ans*=(c[i]*2+1),ans%=mod;
printf("%lld",ans%mod);
}
