「CTSC 2008」祭祀
题目链接
\(Solution\)
第一问
这道题要知道一个叫做\(Dilworth\)的定理
最长反链\(=\)最小链覆盖
证明(\(from\ r\_64\)):
所以我们只要求一个最小链覆盖即可
这个很好求
对于每个点拆点，拆成\((x,x')\),\(s->x\)流量为\(1\),\(x'->t\),流量为\(1\)
对于每个相连通的边\((x,y)\),将\(x->y'\)流量为\(1\)
最后用\(n-Dinic()\)即可
但是注意不能根据输入的边连边，需要用传递闭包判一下连通性，因为如下图这种情况，就不对
这样子如果直接连边跑出来的结果是\(3\)但是实际上应该是\(2\)
本来应该是没有后面两问的,但是因为有了\(spj\)导致后面两问又出来了
第二问
它要求一个最长反链，也就是求一个最大独立集
第三问
我们删掉一个点和与他相关的点与边，再求一次最长反链，如果答案减少了\(1\)则这个可能在最长反链中否则不可能,具体见代码
\(Code\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9;
typedef long long ll;
int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
struct node{
int to,next,v;
}a[2000001];
int head[1000001],cnt=1,tot,ans,n,m,s,t,x,y,z,dep[1000001],f[1001][1001],vis[1001],bj[1001];
void add(int x,int y,int c){
a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],a[cnt].v=c,head[x]=cnt;
a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],a[cnt].v=0,head[y]=cnt;
}
queue<int> q;
int bfs(){
memset(dep,0,sizeof(dep));
q.push(s);
dep[s]=1;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=head[now];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
if(!dep[v]&&a[i].v>0)
dep[v]=dep[now]+1,q.push(v);
}
}
if(dep[t])
return 1;
return 0;
}
int dfs(int k,int list){
if(k==t||!list)
return list;
for(int i=head[k];i;i=a[i].next){
int v=a[i].to;
if(dep[v]==dep[k]+1&&a[i].v>0){
int p=dfs(v,min(list,a[i].v));
if(p){
a[i].v-=p;
a[i^1].v+=p;
return p;
}
}
}
return dep[k]=0;
}
int Dinic(){
int ans=0,k;
while(bfs())
while((k=dfs(s,inf)))
ans+=k;
return ans;
}
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]&f[k][j]);
}
void dfs1(int x){
if(!vis[x]&&x<=n) return ;
if(vis[x]&&x>n) return ;
if(x<=n){
vis[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
if(a[i].v)
dfs1(a[i].to);
}
else {
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
if(!a[i^1].v)
dfs1(a[i].to);
}
}
int main(){
n=read(),m=read(),s=0,t=2*n+1;
for(int i=1;i<=m;i++)
x=read(),y=read(),f[x][y]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
add(s,i,1),bj[i]=cnt-1,add(i+n,t,1),f[i][i]=1,vis[i]=1;
floyd();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i!=j&&f[i][j])
add(i,j+n,1);
printf("%d\n",ans=(n-Dinic()));
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[bj[i]].v)
dfs1(i);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d",(vis[i]|vis[i+n])^1);
cout<<endl;
for(int k=1;k<=n;k++){
memset(head,0,sizeof(head)),cnt=1,tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i!=k&&!f[i][k]&&!f[k][i])
add(s,i,1),add(i+n,t,1),tot++;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i!=j&&f[i][j]&&i!=k)
add(i,j+n,1);
printf("%d",ans-1==tot-Dinic());
}
}
