「HNOI 2014」 画框
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\(Solution\)
这一题很像最小乘积生成树.只是把\(kruskal\)变为了\(km\)/费用流
现在来讲一讲最小乘积生成树.首先将\(\sum a_i\)和\(\sum b_i\)看为坐标轴上的点\((x,y)\)
\(step 1:\) 首先找出离\(x\)最近的点和离\(y\)最近的点
\(step 2:\) 找出距离\(A,B\)最远的\(C\)(\(C\)要在\(A,B\)左边)
\(step 3:\) 递归处理\(AC\)和\(CB\),直到找不到\(C\)为止
现在来讲一下怎么求\(C\),我们可以通过向量的叉积来算.
因为\(C\)要离\(AB\)最远等价于\(S_{\Delta ABC}\)最大即:\(\overrightarrow{A C}*\overrightarrow{A B}\)最小
\[\overrightarrow{A C}*\overrightarrow{A B}
\]
\[=(X_B-X_A)*(Y_C-Y_A)-(Y_B-Y_A)*(X_C-X_A)
\]
\[=(X_B-X_A)*Y_C+(Y_A-Y_B)*X_C+ans
\]
ans为一个常数,不用管他.
然后我们直接将权值/费用改为\((X_B-X_A)*b+(Y_A-Y_B)*a\)在跑一遍\(km/\)费用流即可
\(luogu\)没过T了,\(bzoj\)过了
\(Code\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read() {
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*f;
}
struct node {
int x,y;
bool operator == (const node &z)const {
return x==z.x&&y==z.y;
}
};
node operator - (const node & a , const node & b) {
return (node) {
a.x-b.x,a.y-b.y
};
}
int calc(node x, node y) {
return (x.x * y.y) - (x.y * y.x);
}
node minx;
struct node1 {
int to,next,v,w;
} a[1000001];
int dis[100001],f[100001],pre[100001],fa[100001],s,t,n,m,head[100001],cnt,x,y,z,c,A[100][100],B[100][100];
void add(int x,int y,int c,int v) {
a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],a[cnt].v=c,a[cnt].w=v,head[x]=cnt;
a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],a[cnt].v=0,a[cnt].w=-v,head[y]=cnt;
}
queue < int > q;
int spfa() {
q.push(s);
for(int i=s; i<=t; i++)
dis[i]=2147483647,f[i]=0;
f[s]=1,dis[s]=0;
int inf=dis[s+1];
while(!q.empty()) {
int now=q.front();
q.pop(),f[now]=0;
for(int i=head[now]; i; i=a[i].next) {
int v=a[i].to;
if(dis[v]>dis[now]+a[i].w&&a[i].v) {
dis[v]=dis[now]+a[i].w,pre[v]=i,fa[v]=now;
if(!f[v])
f[v]=1,q.push(v);
}
}
}
if(dis[t]!=inf)
return 1;
return 0;
}
int ans1,ans,minn=2147483647;
void answer() {
while(spfa()) {
int minx=2147483647;
for(int i=t; i!=s; i=fa[i])
minx=min(minx,a[pre[i]].v);
ans+=minx,ans1+=dis[t]*minx;
for(int i=t; i!=s; i=fa[i])
a[pre[i]].v-=minx,(pre[i]%2)?a[pre[i]+1].v+=minx:a[pre[i]-1].v+=minx;
}
}
node work(int fx,int fy) {
cnt=0,s=0,t=2*n+1;
for(int i=s; i<=t; i++)
head[i]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
for(int j=1; j<=n; j++)
add(i,j+n,1,A[i][j]*fx+B[i][j]*fy);
}
answer();
int x=0,y=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=head[i]; j; j=a[j].next)
if(!a[j].v&&a[j].to)
x+=A[i][a[j].to-n],y+=B[i][a[j].to-n];
node ans2;
ans2.x=x,ans2.y=y;
if(x*y<minn)
minn=x*y;
return ans2;
}
void devide(node l,node r) {
node mid=work(l.y-r.y,r.x-l.x);
if(l==mid||mid==r) return ;
devide(l,mid),devide(mid,r);
}
main() {
int T=read();
node l,r;
while(T--) {
n=read(),minn=2147483647;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
A[i][j]=read();
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
B[i][j]=read();
l=work(1,0),r=work(0,1);
devide(l,r);
printf("%d\n",minn);
}
}
