树状数组

树状数组

一、适用范围

  • 树状数组是一个查询和修改复杂度都为 \(log(n)\) 的数据结构，常常用于查询任意区间的所有元素之和。
  • 与前缀和的区别是支持动态修改, \(log(n)\) 的时间进行修改，\(log(n)\) 查询。
  • 支持如下操作：
    • 单点修改区间查询
    • 区间修改单点查询
    • 区间修改区间查询

二、算法原理

  1. 树状数组较好的利用了二进制。它的每个节点的值代表的是自己和前面一些连续元素的和。至于到底是前面哪些元素，这就由这个节点的下标决定。

  1. 设节点的编号为 \(i\) ，那么：

\[c[i]=\sum_{j=i-lowbit(i)+1}^i a[j] \]

  1. 即可以推导出：

    C[1] = A[1]  # lowbit(1)个元素之和
C[2] = C[1] + A[2] = A[1] + A[2]  # lowbit(2)个元素之和
C[3] = A[3]  # lowbit(3)个元素之和
C[4] = C[2] + C[3] +A[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] # lowbit(4)个元素之和
C[5] = A[5]
C[6] = C[5] + A[6] = A[5] + A[6]
C[7] = A[7]
C[8] = C[4] + C[6] + C[7] + A[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8]

  2. 显然一个节点并不一定是代表自己前面所有元素的和。只有满足 \(2^n\) 这样的数才代表自己前面所有元素的和。

  3. 理解 \(lowbit\) 函数

    • 原码：如果机器字长为 \(n\)，那么一个数的原码就是用一个 \(n\) 位的二进制数，其中最高位为符号位：正数为 \(0\)，负数为 \(1\)。剩下的 \(n-1\) 位表示该数的绝对值。

    • 反码：知道了原码，那么你只需要具备区分 \(0\) 跟 \(1\) 的能力就可以轻松求出反码，为什么呢？因为反码就是在原码的基础上，符号位不变其他位按位取反(就是 \(0\) 变 \(1\)，\(1\) 变 \(0\))就可以了。

    • 补码也非常的简单，就是在反码的基础上按照正常的加法运算加 \(1\) 。正数的补码就是其本身。负数的补码是在其原码的基础上符号位不变，其余各位取反，最后 \(+1\)，即取反 \(+1\)

    • $lowbit(x)=x&-x $ ：表示截取 \(x\) 二进制最右边的 \(1\) 所表示的值，可以写成函数或宏定义

    • 注意宏定义是括号，因为宏名只是起到一个替代作用，不加括号在运算时优先级会出问题

      //1. 宏定义，注意括号，不建议这样写,容易产生歧义
#define lowbit(x) ((x) & -(x))
//2. 函数写法，推荐写法：
int lowbit(int x){return x & -x;}

三、 树状数组的操作

  1. \(update\) 更新操作

    • 因为树状数组 \(c[x]\) 维护的是一个或若干个连续数之和，当我们修改了 \(a[x]\) 之后，\(x\sim n\) 前缀和均发生了变化，所以除了\(c[x]\) 需要修改之外 \(x\) 的祖先节点也必须修改而 \(x\) 的父亲节点为 \(x+lowbit(x)\)，我们叫向上更新。

    • 把序列中第 \(i\) 个数增加 \(x\)，\(sum[i]\sim sum[n]\) 均增加了 \(x\) ，所以我们只需把这个增量往上更新即可。如果，把 \(a[i]\) 修改成 \(x\)，则我们向上更新 \(a[i]\) 的增量：\(x-a[i]\)。

      //1. a[id] 增加 x while写法
void updata(int id,int x){
    while(id<=n){//向上更新，更新到n为止
        c[id]+=x;
        id+=lowbit(id);
    }
}
//2. a[id] 修改成 x  for写法
void updata(int id,int x){//或者传递参数是x=x-a[id]，此时跟第一种写法一样
    for(int i=id;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=x-a[id];
}

  2. \(getsum\) 查询操作

    • 因为树状数组维护的是一个能够动态修改的前缀和，所以可以在 \(log(n)\) 的效率下求出前 \(n\) 项和\(sum[i]\) 。

    • 如果 \(i=2^j (j=0,1,..n)\)， 此时最简单，显然有：\(sum[i]=c[i]\) ，如果 \(i\) 是其他的情况呢？

      • \(sum[5]=c[5]+c[4]\ (4=5-lowbit(5))\)
      • \(sum[15]=c[15]+c[14]+c[12]+c[8]\ (14=15-lowbit(15),12=14-lowbit(14),...)\)

    • 显然，想要求出前 \(i\) 项前缀和 \(sum[i]\) ，只需沿着当前节点向下累加直到节点编号为 \(2^j\) 为止。我们叫向下求和。

      int getsum(int id){
    int tot=0;
    for(int i=id;i>0;i-=lowbit(i))
        tot+=c[i];
    return tot;
}

四、求逆序对

  • 算法思想

    • 逆序对就是如果 \(i > j\ \&\&\ a[i] < a[j]\)，这两个就算一对逆序对。其实也就是对于每个数而言，找找排在其前面有多少个比自己大的数。
    • 我们用数组 \(c[i]\) 记录在数 \(i\) 之前出现的在 \([i-lowbit[i],i]\) 的数的个数。
    • 所以我们只需要向下更新，向上求和来求出逆序对的个数了。
    • 注意，我们维护的是序列数的数值的大小，所以序列元素值 $a[i]>0 $ ，且元素大小不宜太大，而且必须为整数。

  • $Code $

    #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e6+5;
int n,ans,a[maxn],c[maxn];
int lowbit(int x){return x & -x;}
void modify(int i){
    for(;i;i-=lowbit(i)) c[i]+=1;
}
int getsum(int i){
    int tot=0;
    for(;i<=maxn;i+=lowbit(i)) tot+=c[i];
    return tot;
}
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i]++; //避免a[i]-1=0
        ans+=getsum(a[i]-1);
        modify(a[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

  • 离散化版 \(Code\)

    #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int n,cnt;
int lowbit(int x){return x & -x;}
void updata(int i){
    for(;i;i-=lowbit(i)) c[i]+=1;
}
int getsum(int i){
    int tot=0;
    for(;i<=n;i+=lowbit(i)) tot+=c[i];
    return tot;
}
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    srand(time(0));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i]=rand()%n;
        b[i]=a[i];
        printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n");
    std::sort(b+1,b+n+1);
    cnt=std::unique(b+1,b+n+1)-b;
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=std::lower_bound(b+1,b+cnt,a[i])-b;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans+=getsum(a[i]+1);
        updata(a[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

五、离散化

  1. 什么是离散化呢？

    • 很多时候，我们并不关心数组中每个值的大小，只关心它们的序的关系。
      • 在求数组的逆序对的时候，9 8 7 6 5 和 5 4 3 2 1 具有相同的逆序对
      • 我们只关心数组的每个数右边有多少个比当前元素小的数，至于每个数有多大并不重要。
    • 通常我们把 一个具有 n 个 unique values 的数组映射到 range [1, n]的整数的操作叫做离散化。
    • 如果数组有重复元素，重复元素在离散化后的数组也需要具有相同的值。

  2. 离散化的两种方法：

    • 方法一：lower_bound

      • 对原始数据进行备份，并对备份数组进行排序。

      • 用 \(stl\) 的 \(unique\) 函数对排序后的数组进行去重。

      • 二分查找原始数组里每个元素在去重后的备份数组中的位置，并把位置作为数组的新的值。

      • \(Code\)

        #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn],b[maxn];//a为原数组，b为备份数组
int n,cnt;
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    srand(time(0));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i]=rand()%(2*n);
        b[i]=a[i];
    }
    std::sort(b+1,b+n+1);//备份数组排序
   	cnt=std::unique(b+1,b+n+1)-b-1;//备份数组排序，cnt指向不重的最后一个元素
    for(int i=1;i<=n;++i) //二分查找a[i]在数组中的位置，并用相对大小代替原始值。
        a[i]=std::lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i])-b;   
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

      • unique 解析：

        • unique 函数的函数原型如下：

          iterator unique(iterator it_1,iterator it_2);

        • 这两个参数表示对容器中 \([it\_1，it\_2)\) 范围的元素进行去重，注意区间是前闭后开 。

        • 返回值是一个迭代器，它指向的是去重后容器中不重复序列的最后一个元素的下一个元素。

        • unique 函数的去重过程实际上就是不停的把后面不重复的元素移到前面来，也可以说是用不重复的元素占领重复元素的位置。

        • unique 函数实现过程等价于下面函数：

          iterator My_Unique (iterator first, iterator last){
    if (first==last) return last; 
    iterator result = first;//result指向最后一个不重复的最后一个元素
    while (++first != last){//遍历整个序列
        if (!(*result == *first)) //first和result指向的值不相等
            *(++result)=*first;//把first指向的值移动到result的下一个位置
    }//如果first和result指向值相等，first往后遍历。
    return ++result;//把不重复的最后一个元素的下一个位置的迭代器返回。
}

        • unique 函数去重一般需要对序列进行排序，否则有可能不能真正的去重。

    • 方法二：排序之后，枚举着放回原数组

      • 结构体存下原数和位置。

      • 对结构体数组按照元素的值进行排序

      • 枚举排序后的数组，\(rank[id]=i\) 离散化数组。

      • \(Code\)

        #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e5;
struct Node{
    int id,data;
    bool operator <(const Node &a)const{
        return data<a.data;
    }
}a[maxn];
int n,rank[maxn];
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    srand(time(0));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i].id=i;
        a[i].data=rand()%n;
    }
    std::sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) rank[a[i].id]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",rank[i]);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

      • 这种离散化方式没有对相同元素去重，如果需要去重也比较麻烦，一般情况下用第一种方法进行离散化，简单好写还不容易出错。

六、区间修改单点查询

  1. 差分思想

    • 对一个 \(n\) 个元素的序列 \(\{a_1,a_2,...,a_n \}\) ，令 \(b_i=a_i-a_{i-1}\) ，产生新的序列 \(\{b_1,b_2,...,b_n\}\) ，我们称 序列 \(b\) 为序列 \(a\) 的差分数组。
      • 序列 \(a=\{1,8,10,7,10\}\)，则其差分序列 \(b=\{1,7,2,-3,3\}\) 。
      • 为了方便计算，序列编号一般为\(1\sim n\) ，且默认 \(a_0=0\) 。
    • 根据差分的定义，\(b_1=a_1-a_0,b_2=a_2-a_1,...,b_n=a_n-a_{n-1}\) ，由此我们很容易得出：\(a_i=\sum_{j=1}^{i} b_j\) 。

  2. 区间修改单点查询

    • 如果我们用树状数组维护原序列的差分序列，我们很容易通过向上更新，向下求和的方式求出原序列的每一个元素。
    • 如果我们对原序列的 \([l,r]\) 区间的每一个元素增加 \(x\) ，此时我们只需对树状数组 \(c[l]\) 向上更新 \(x\) ，这样向下查询每一个元素的新的值的时候区间 \([l,n]\) 之间的元素值都增加了 \(x\) ，为了消除对区间 \([r+1,n]\) 之间的元素的影响，我们只需对树状数组 \(c[r+1]\) 处向上更新一个 \(-x\) 即可。

  3. 代码实现：

    #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
ll a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int n;
int lowbit(int x){return x & -x;}
void updata(int i,ll x){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=x;
}
ll getsum(int i){
    ll tot=0;
    for(;i;i-=lowbit(i)) tot+=c[i];
    return tot;
}
void Solve(){
    int Q;
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld",&a[i]);
        b[i]=a[i]-a[i-1];//差分数组
        updata(i,b[i]);
    }
    int l,r;
    ll x;
    while(Q--){
        int flag;scanf("%d",&flag);
        if(flag==1){
            scanf("%d%d%lld",&l,&r,&x);
            updata(l,x);
            updata(r+1,-x);
        }
        else{
            int X;
            scanf("%d",&X);//查询a[X]。
            printf("%lld\n",getsum(X));
        }
    }
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

七、区间修改区间查询

  • 树状数组的区间查询也是在差分的基础上进行的，有上面的差分可知：

    • \(a_i=\sum_{j=1}^i b_j\)

    • 前缀和：\(sum_i=\sum_{j=1}^i a_i=\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j b_k\) 。

    • \[\begin{aligned} sum_i&=a_1+a_2+...+a_i\\ &=b_1+(b_1+b_2)+...+(b_1+b_2+..+b_i)\\ &=i*b_1+(i-1)*b_2+...+2*b_{i-1}+b_i\\ &=i*(b_1+b_2+...+b_i)-(0*b_1+1*b_2+...+(i-1)*b_i)\\ &=i*\sum_{j=1}^i b_j-(0*b_1+1*b_2+...+(i-1)*b_i) \end{aligned} \]

    • 所以我们只需用一个树状数组维护 \(b_i\) ，一个树状数组维护 \((i-1)*b_i\) 即可。

    • \(Code\)

      #include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
ll a[maxn],c1[maxn],c2[maxn];
int n;
int lowbit(int x){return x & -x;}
void updata(int x,ll w){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) {
        c1[i]+=w;//维护差分数组
        c2[i]+=(x-1)*w;//维护(i-1)*bi
    }
}
ll getsum(int x){
    ll tot=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) tot+=x*c1[i]-c2[i];
    return tot;
}
void Solve(){
    int Q;
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld",&a[i]);
        updata(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    int l,r;
    ll x;
    while(Q--){
        int flag;scanf("%d",&flag);
        if(flag==1){
            scanf("%d%d%lld",&l,&r,&x);
            updata(l,x);
            updata(r+1,-x);
        }
        else{
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%lld\n",getsum(r)-getsum(l-1));
        }
    }
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}
posted @ 2020-11-25 12:02  ♞老姚♘  阅读(625)  评论(5)  编辑  收藏  举报