字符串的距离

字符串的距离(dp \(\star \))

• 时限：\(1s\) 内存：\(256M\)

Descrption

• 设有字符串 \(X\)，我们称在 \(X\) 的头尾及中间插入任意多个空格后构成的新字符串为 \(X\) 的扩展串，如字符串 \(X\)为“\(abcbcd\)”，则字符串“\(abcb□cd\)”，“\(□a□bcbcd□\)” 和 “\(abcb□cd□\)” 都是 \(X\) 的扩展串，这里“ \(□\) ”代表空格字符。
• 如果 \(A_1\) 是字符串 \(A\) 的扩展串，\(B_1\) 是字符串 \(B\) 的扩展串，\(A_1\) 与 \(B_1\) 具有相同的长度，那么我们定义字符串 \(A_1\) 与 \(B_1\) 的距离为相应位置上的字符的距离总和：
  • 两个非空格字符的距离定义为它们的 \(ASCII\) 码的差的绝对值
  • 空格字符与其它任意字符之间的距离为已知的定值 \(K\)，
  • 空格字符与空格字符的距离为 \(0\)。
• 在字符串 \(A,B\) 的所有扩展串中，必定存在两个等长的扩展串 \(A_1,B_1\)，使得 \(A_1\) 与 \(B_1\) 之间的距离达到最小，我们将这一距离定义为字符串 \(A,B\) 的距离。
• 请你写一个程序，求出字符串 \(A,B\) 的距离

Input

• 输入文件第一行为字符串 \(A\) 。
• 第二行为字符串 \(B\)，\(A,B\) 均由小写字母组成且长度均不超过 \(2000\) 。
• 第三行为一个整数 \(K,1≤K≤100\) ，表示空格与其它字符的距离。

Output

• 输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的字符串 \(A,B\) 的距离。

Sample Input

cmc
snmn
2

Sample Output

10

Hint

• 来源：\(luogup1279\)

分析

• 这个 \(dp\) 应该还是比较好想的，类似的模型我们可以参照最大公共子序列，定义状态 \(dp[i][j]\) ：表示第一个字符串处理到第 \(i\)，第二个字符串处理到第 \(j\) 个的最小距离。
• 转移方程：\(dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+abs(s1[i]-s2[j]),min(dp[i-1][j]+k,dp[i][j-1]+k))\)
  • \(dp[i-1][j-1]+abs(s1[i]-s2[j])\) ：表示 \(s1[i]\) 和 \(s2[j]\) 对齐。
  • \(dp[i-1][j]+k\) ：表示 \(s1[i]\) 与空格对齐。
  • \(dp[i][j-1]+k\) ：表示 \(s2[i]\) 与空格对齐。
• 临界条件初始化：
  • \(dp[i][0]=i*k, dp[0][i]=i*k\) ：均和空格对位。
  • 求最小值，其他情况初始化为一个大数。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=2000+5;
char s1[maxn],s2[maxn];
int dp[maxn][maxn],len1,len2,k;
void Init(){
    scanf("%s%s",s1,s2);
    scanf("%d",&k);
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;len1=strlen(s1);len2=strlen(s2);
    for(int i=1;i<=len1;++i)
        dp[i][0]=i*k;
    for(int i=1;i<=len2;++i)
        dp[0][i]=i*k;
}
void Solve(){
    for(int i=1;i<=len1;++i)
        for(int j=1;j<=len2;++j){
            dp[i][j]=std::min(dp[i-1][j]+k,dp[i][j-1]+k);
            dp[i][j]=std::min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+abs(s1[i-1]-s2[j-1]));
        }
    printf("%d\n",dp[len1][len2]);
}
int main(){
    Init();
    Solve();
    return 0;
}