排队

排队(递推 \(\star \))

• 小花所在的班有 \(n\) 名同学（任何两位同学身高不相同），正准备排成一列纵队，但他们不想按身高从矮到高排，那样太单调，太没个性。
• 他们希望恰好有 \(k\) 对同学是高的在前，矮的在后，其余都是矮的在前，高的在后。如当 \(n=5,k=3\) 时，假设\(5\) 人从矮到高分别标为 \(1,2,3,4,5\)，则 \((1,5,2,3,4）,(2,3,1,5,4),(3,1,4,2,5)\)都是可行的排法。
• 小花想知道总共有多少种可行排法。

Input

• 一行两个整数 \(n\) 和 \(k\)，意义见问题描述。

Output

• 输出一个整数，表示可行排法数。由于结果可能很大，请输出排法数 \(mod\ 1799999\) 的值。

Sample Input

5 3

Sample Output

15

Hint

• 对于 \(20\%\) 的数据，有 \(n≤10,k≤40\)；
• 对于 \(60\%\) 的数据，有 \(n≤100，k≤500\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据，有 \(n≤100,k≤\frac{n*(n-1)}{2}\)。
• 来源：\(20180715\)

分析

• \(1\sim n\) ,组成的序列中，如果升序时，逆序对数位 \(0\) ，倒序时逆序对数为：\(1+2+...+n-1\)。
• 定义 \(f[i][j]\) 表示 \(1\sim i\) 组成的序列，逆序对个数为 \(j\) 时的方案数。
• 则有：\(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+...+f[i-1][j-i+1]\) \((1)\)
  • \(i\) 是当前最大的数，把 \(i\) 放到 \(1\sim i-1\) 的序列中可以控制 \(i\) 的位置增加 \(0\sim i-1\) 对逆序对。
• 同理：\(f[i][j-1]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][j-i]\) \((2)\)
• \((1)-(2)\) 移项可得：\(f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-i]\) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int maxn=100+5,Mod=1799999;
LL f[maxn][maxn*maxn];//f[i][j]前i个数组成j个逆序对的方案数
int n,k,sum;
void Solve(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=1;//0对逆序对方案数位1,即升序
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=i-1;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            if(j>sum)break;//i个人顶多sum个逆序对，倒序
            f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j])%Mod;
            if(i<=j)
                f[i][j]=(f[i][j]-f[i-1][j-i]+Mod)%Mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n][k]%Mod);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}