压缩

压缩( \(dp\star\star\))

Descrption

• 给一个由小写字母组成的字符串，我们可以用一种简单的方法来压缩其中的重复信息。压缩后的字符串除了小写字母外还可以（但不是必需）包含大写字母 \(R\) 与 \(M\)，其中\(M\)标记重复串的开始，\(R\)重复从上一个\(M\)（如果当前位置左边没有\(M\)，则从串的开始算起）开始的解压结果（称为缓冲串）。

• \(bcdcdcdcd\) 可以压缩为 \(bMcdRR\)，下面是解压缩的过程：

  已经解压的部分	解压结果	缓冲串
  $ b $	$ ab $	\(b\)
  \(bM\)	$ bb $
  \(bMc\)	\(bc\)	\(c\)
  \(bMcd\)	\(bcd\)	\(cd\)
  \(bMcdR\)	\(bcdcd\)	\(cdcd\)
  \(bMcdRR\)	\(bcdcdcdcd\)	\(cdcdcdcd\)

  • 另一个例子是 \(abcabcdabcabcdxyxyz\) 可以被压缩为 \(abcRdRMxyRz\)。

Input

• 输入仅一行，包含待压缩字符串，仅包含小写字母，长度为\(n\)。

Output

• 输出仅一行，即压缩后字符串的最短长度。

Sample Input1

aaaaaaa

Sample Output1

5

Sample Input2

bcdcdcdcdxcdcdcdcd

Sample Output2

12

Hint

• 样例说明：在第一个例子中，解为\(aaaRa\)，在第二个例子中，解为\(bMcdRRxMcdRR\)。
• 数据范围：
• \(50\%\) 的数据满足：\(1<=n<=20\)。
• \(100\%\) 的数据满足：\(1<=n<=50\)。

分析

• 设 \(dp[i][j][0]\) 表示表示 \(i\) 到 \(j\) 的区间内没有 \(M\) 的情况：
  • 如果前半段与后半段相等，\(dp[i][j][0]=min(dp[i][j][0],dp[l][mid][0]+1),(mid=(i+j)/2)\)
  • 如果\([i,j]\)，但有可能 \([i,k],(i<k<j)\) 可以折叠,\(dp[i][j][0]=min(dp[i][j][0],dp[i][k][0]+j-k)\)
• \(dp[i][j][1]\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的区间内有 \(M\) 的情况：
  • \(k\) 枚举的是 \(M\) 的位置，即在 \(k\) 的后面放一个 \(M\):
    • \(dp[l][r][1]=min(dp[l][r][1],min(dp[l][k][0],dp[l][k][1])+min(dp[k+1][r][0],dp[k+1][r][1])+1)\)
  • 对区间 \([l,k]\) 和 \([k+1,r]\) 均有两种选择，然后加上 \(M\) 这个 \(1\) 。
• 最后输出\(ans=max(dp[1][n][0],dp[1][n][1])\)。
• 对 \(dp[i][j][1]\) 是两个递归的子问题合并而成，所以套用典型的区间 \(dp\) 的模板，注意对 \(M\) 的处理。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=50+5;
char a[maxn];
int dp[maxn][maxn][3];
int n;
int check(int l,int r){//判断前一半是否和后一半相等
    if((r-l+1)&1)return 0;//长度为奇数
    int mid=(l+r)>>1;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
        if(a[i]!=a[i+mid-l+1])return 0;
    return 1;
}
void Init(){
    scanf("%s",a+1);
    n=strlen(a+1);
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
}
void Solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++)//初始化为没有折叠
        for(int j=i;j<=n;j++)
            dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=(j-i+1);
    for(int d=2;d<=n;d++){//区间dp长度为2开始
        for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){//i为区间起点，j为区间终点
            if(check(i,j))//区间[i,j]正好能折叠
                dp[i][j][0]=std::min(dp[i][(i+j)/2][0]+1,dp[i][j][0]);
            for(int k=i;k<j;k++)//枚举区间的断点,有可能[i,k]能折叠
                dp[i][j][0]=std::min(dp[i][j][0],dp[i][k][0]+j-k);    
            for(int k=i;k<j;k++)//枚举M的位置,即在k的后面加一个M
                dp[i][j][1]=std::min(dp[i][j][1],std::min(dp[i][k][0],dp[i][k][1])+std::min(dp[k+1][j][0],dp[k+1][j][1])+1);
        }
    }
    printf("%d\n",std::min(dp[1][n][1],dp[1][n][0]));
}
int main(){
    Init();
    Solve();
    return 0;
}