枪战Maf

枪战Maf (思维好题 \(\star\star\))

• 有 \(n\) 个人，用\(1\sim n\) 进行编号，每个人手里有一把手枪。一开始所有人都选定一个人瞄准（有可能瞄准自己）。然后他们按某个顺序开枪，且任意时刻只有一个人开枪。因此，对于不同的开枪顺序，最后死的人也不同。

Input

• 输入\(n\)人数 \(n<1000000\)
• 接下来 \(n\) 个数，依次为每个人的 \(aim\)

Output

• 输出只有一行，共两个数，为要求最后死亡数目的最小和最大可能。

Sample Input

8
2 3 2 2 6 7 8 5

Sample Output

3 5

Hint

分析

• 设最大存活人数 \(mx\)，最少存活人数 \(mn\)

  

• 如图，入度为 \(0\) 的点【绿框】必定存活，那么他所指的点【红圈】必定会死（早晚的事）。所以每有一个“绿框”，我们就：\(\text{mx++,mn++}\);　

• 我们可以发现：

  • 最小存活：如果 \(2\) 死之前射死了 \(3\) （\(undie\)标记），那么 \(mn\) 不变。
  • 最大存活：如果 \(2\) 先死了，\(3\) 的入度减一，如果 \(3\) 的入度变为了 \(0\) ，进队（队列维护的是入度为 \(0\) 的点）；
  • 当然 \(3\) 也有可能入读不为 \(0\)，那么它必定会构成环或链，想要尽量活的人多，那就要这个环或链隔一个人，打一个，最多就可以存活 \(len/2\) 个人。
  • 如果环上有 \(undie\) 标记的点，我们可以设计，让该点最后死，然后再干掉他，这样环上就全部死掉。

• 最常见的还是构成环的情况【黄圈】（无 \(undie\) 标记），同理，

  • 最小存活：\(+1\)（无论如何都会剩一个人）
  • 最大存活：隔一个人打一个，可以最大存活 \(len/2\)；

• 其实我们可以发现，拓扑序帮我们把一个大整体拆解成了一个个小问题。

Code

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
int n,Max,Min,q[maxn],aim[maxn],rd[maxn];
bool die[maxn],undie[maxn];
void Init(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&aim[i]);
        rd[aim[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)//入度为0的点必活
        if(rd[i]==0){
            Min++;//最小必活数+1
            q[++Max]=i;//队列维护的是入度为0的点
        }
}
void Solve(){
    int head=1;
    while(head<=Max){//扫描队列
        int cur=q[head];head++;//取出队首并出队
        if(die[aim[cur]]) continue;//队首目标已死(多个入度为0的点指向一个点)
        die[aim[cur]]=1;//队首目标必死
        int live=aim[aim[cur]];//队首目标的目标可死可不死，看决策
        rd[live]--;//
        undie[live]=1;//可以让他活，但想死的时候随时可以让他死，在环可以最后死
        if(rd[live]==0)//虽然入度为0，但不一定是必活，所以Min不加
            q[++Max]=live;
    }
    //下面处理只剩下环
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(rd[i] && !die[i]){
            int len=0,flag=0;//len记录环大小,flag标记环上是否有undie的点    
            for(int j=i;!die[j];j=aim[j]){
                len++;
                flag|=undie[j];
                die[j]=1;//标记已死，避免其他的再来计算
            }
            if(!flag && len>1) Min++;//len=1表示自环，必死
            Max+=len/2;
    } 
    printf("%d %d",n-Max,n-Min);
}
int main(){
    Init();
    Solve();
    return 0;
}