奖学金
奖学金
Descrption
- 猪仙发现人类可以上很多大学,而猪们却没有大学可上。为了解决这个问题,于是他创立了一所大学,取名为猪仙大学。
- 为了选拔合适的学生入学,他发明了一种学术能力测试(简称 \(CSAT\) ),这种测试的分数异常精确,每头猪的成绩可以用 \(1\) 到 \(2,000,000,000\) 之间的一个整数表示。
- 猪仙大学的学费很贵(猪仙比较黑),很多猪都负担不起,他们需要申请一些奖学金(\(1≤\) 奖学金 \(≤10000\))。可是政府并没有为猪准备奖学金,于是所有的预算都必须要从学校自身有限的基金中间扣除(设基金总额为 \(F,0≤F≤2,000,000,000\))。
- 更槽的事,猪仙大学的只有 \(N (1≤N≤19999)\) 间教室,\(N\) 是一个奇数,而一共有 \(C (N≤C≤100,000)\)头猪申请入学,为了让最多的猪接受教育,猪仙打算接受 \(N\) 头猪的申请,而且她还想让这些猪 \(CSAT\) 成绩的中位数尽可能地高。
- 所谓中位数,就是在一堆数字在排序后处在最中间的那个数字,比如 \(\{3,8,9,7,5\}\) 的中位数就是 \(7\)。
- 给定每头猪的 \(CSAT\) 成绩和打算申请的奖学金数目,以及可以资助的基金总数,确定猪仙接受哪些猪的申请才可以使成绩的中位数达到最大。
Input
- 第一行:三个用空格分开的整数:\(N,C\) 和 \(F\)。
- 第二行到 \(C+1\) 行:每行有两个用空格分开的整数。第一个数是这头猪的 \(CSAT\) 成绩,第二个数是这头猪想申请的奖学金。
Output
- 第一行:一个整数,表示猪仙可以得到的最大中位数,如果现有基金不够资助 \(N\) 头猪,则输出 \(-1\)。
Sample Input
3 5 70
30 25
50 21
20 20
5 18
35 30
Sample Output
35
Hint
-
猪仙接受 \(CSAT\) 分数为 \(5,35,50\) 的猪的申请,中位数为 \(35\),需支付的奖学金总额为 \(18+30+21=69≤70\) 。
-
分析
- 数据范围高达 \(10\) 万,显然至少是\(O(n*log(n))\) 才能通过。
- 我们分析性质中位数 \(a_i\) 必须满足:\(\frac{n}{2}+1 \le i\le C-\frac{n}{2}\) 。
- 当 \(i=\frac{n}{2}+1\) 时,我们必须选上最小分数最低的前 \(\frac{n}{2}\) 的猪。
- 所以我们可以枚举每一个中位数,用一个维护奖金的大根堆,每枚举完一个中位数,如果当前的奖金比堆顶的小,则交换,始终保证堆的有 \(\frac{n}{2}\) 个数,同时用一个数组 \(f[i]\) 维护如果选 \(a_i\) 为中位数,前 \(\frac{n}{2}\) 个数的最小奖金。
- 同上,倒序维护,求出 \(g[i]\) 表示,如果选 \(a_i\) 为中位数,则后 \(\frac{n}{2}\) 个数最小奖金。
- 显然答案为满足 \(f[i]+g[i]+a[i].w<=F\) 的最大的 \(a[i].s\) 。
-
Code
#include <bits/stdc++.h> const int maxn=2e5+5; int n,c,F; std::priority_queue <int> q; struct Node{ int s,w;//分数,奖金 } a[maxn]; bool cmp(const Node &a, const Node &b){ return a.s<b.s; } int f[maxn],g[maxn],sum;; void Init(){ scanf("%d%d%d", &n,&c,&F); for(int i=1;i<=c;++i) scanf("%d%d", &a[i].s,&a[i].w); std::sort(a+1,a+1+c,cmp);//按成绩升序 } void Solve(){ for(int i=1;i<=n/2;++i){//成绩最低的n/2进入队列 sum+=a[i].w;//累加总奖金 q.push(a[i].w);//队列是维护奖金的大根堆 } //f[i]:表示以i为中位数前n/2人的最小奖金 for(int i=n/2+1;i<=c;++i){ f[i]=sum; int top=q.top(); if(top>a[i].w){//如果当前的奖金小于堆顶则交换掉 q.pop(); sum-=top; sum+=a[i].w; q.push(a[i].w); } } sum=0; while(!q.empty()) q.pop(); for(int i=c;i>=c-n/2+1;--i){//成绩最高的n/2进入队列 sum+=a[i].w; q.push(a[i].w); } //g[i]:表示以i为中位数后n/2人的最低奖金 for(int i=c-n/2;i>=1;--i){ g[i]=sum; int top=q.top(); if(top>a[i].w){//交换 q.pop(); sum-=top; sum+=a[i].w; q.push(a[i].w); } } //中位数的取值范围是[n/2+1,c-n/2] //因为要求最大中位数,所以倒序 for(int i=c-n/2;i>=n/2+1;--i) if(a[i].w+f[i]+g[i]<=F){ printf("%d", a[i].s); return; } printf("-1\n"); } int main(){ Init(); Solve(); return 0; }
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