可撤销贪心

可撤销贪心

概念

• 可撤销贪心一般是在一轮贪心后，在删除原来的数之后，再加入一个数，如果要选这个数，就要算上撤销一轮操作的代价（这个代价可能为负）。

经典例题

• 种树

  • 题目大意：圆形广场共有 N 个种树的位置，顺时针编号1到N。并且每个位置都有一个美观度 \(a_i\) ，两株树不能种在相邻的位置（1号和N号也算相邻位置）一共有 M 株树，现在小D也想知道应该如何摆这 N 株树才能使美观度最大。

• 我们可以贪心，每一次从剩下可选的数中选出一个最大的 \(a_i\)，但这样显然是错的，因为我们可能选择\(a_{i-1}\) 和 \(a_{i+1}\) 会更优 。那么怎么办呢？我们可以考虑让贪心变得可撤销。

  • 假设当前我们选了第i个数，那么它的贡献就是 \(a_i\) 。但是最优解有可能不选它，如果不选它的话，那么就会选它的两侧相邻的点，如果这样选的话贡献就是 \(a_{i-1}+a_{i+1}\) 。要把之前的贪心撤消了，就相当于把ans加上 \(a_{i-1}+a_{i+1}-a_i\) 。新加的点其相邻关系也发生了变化，所有我们要用两个数组来记录点的相邻关系，具体操作见下。

• 操作步骤：

  1. 用一个大根堆维护节点的观赏度。
  2. 取出堆顶\((i,A_i)\) ，同时把i相邻的两个位置种树的价值-\(A_i\) 作为一个新的点加入堆，同时更新新点的左右相邻点坐标。
     • \(A_i\) 有可能表示种一棵树的观赏度，也有可能是种多棵树的观赏度，主要跟合并次数有关。
     • 新产生的节点减去\(A_i\) 是为了撤销已经在前面选了\(A_i\) 的决定。
     • 新产生的点必须要在节点i的两边都种上树，因为新点包含了撤销了一次的操作，可以认为在当次的操作中选了一个以前未种树的地方种树，同时把和它相邻的已经种的树挪到了另一边未种树的地方。
     • 新添加的点的相邻关系发生了变化，此时要更新新点的相邻关系。
     • 取出堆顶，说明选择了在堆顶种树，那相邻的两个点就不能种树了，所以要对相邻点进行标记。
  3. 重复操作2直到M棵树均种完。

• Code

  #include <bits/stdc++.h>
  const int maxn=2e5+5;
  struct Node{
      int id,w;
      Node(){};
      Node(int x,int y){id=x;w=y;}
      bool operator <(const Node &a)const{
          return w<a.w;//大根堆
      } 
  };
  int L[maxn],R[maxn],flag[maxn],a[maxn],n,m,ans=0;
  std::priority_queue <Node> q;
  void Solve(){
      scanf("%d%d",&n,&m);
      if(n<m*2){//显然
          printf("Error!\n");return;
      }
      for(int i=0;i<n;++i){//小标0~n-1,便于处理环形
          scanf("%d",&a[i]);
          q.push(Node(i,a[i]));
          L[i]=(i-1+n)%n;//i的左邻，加n是避免-1，0的左邻是n-1
          R[i]=(i+1)%n;//i的右邻n-1的右邻为0
      }
      for(int i=1;i<=m;++i){//种m棵树
          Node t=q.top(); q.pop();
          int j=t.id;
          if(flag[j]){//如果j的邻居已经种了树了
              --i; continue; //此次操作并没有种树所以--i
          }
          ans+=t.w;//选择在j处种树
          flag[L[j]]=1; flag[R[j]]=1;//把j的邻居标记上，不能种树
          a[j]=a[L[j]]+a[R[j]]-t.w;//产生新点，j两边种树，j就不能种树
          q.push(Node(j,a[j]));//新点进堆
          R[L[L[j]]]=j; L[R[R[j]]]=j;//更新新点的左右邻居和j的关系  
          L[j]=L[L[j]]; R[j]=R[R[j]];//更新新点j的左右邻居
      }
      printf("%d\n",ans);
  }
  int main(){
     Solve();
     return 0;
  }