最大子段和之带长度限制

带长度限制的最大子段和

题目模型

• 一个整数序列\(a_1,a_2,……,a_n\) ，求最大的长度不超过K的子段的数值和。

问题分析

• 求以a[i]结尾的最大子段和，我们需要维护一个最小的前缀sum[j]，即[j+1,i]为所求。

• 但要求子段和区间长度不能大于K，则需要满足：i-j<=k。

• 如果j'>j且sum[j']<sum[j]，显然sum[j]对后面的求解就没有用了，所以我们可以用一个单调队列维护最远不超过K的最小前缀和。

• Code

  #include <bits/stdc++.h>
  const int maxn = 1e5+5,Inf=0x3f3f3f3f;
  typedef long long LL;
  int a[maxn<<1],sum[maxn<<1];
  void Solve(){
  	int n,k;	
  	scanf("%d%d",&n,&k);
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		scanf("%d",&a[i]);
  		sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和
  	}
  	int ans=-Inf,l,r;//l:记录答案左边界，r:记录右边界
  	std::deque<int> q;//双端队列维护的
  	for(int i=1;i<=n;++i){
          //因为区间[l,r]和为sum[r]-sum[l-1]所以要维护最小的sum[l-1]
  		while(!q.empty() && sum[i-1]<sum[q.back()]) q.pop_back();
          //保证最远的左端点离i的距离不能超过k
  		while(!q.empty() && i-q.front()>k) q.pop_front();
  		q.push_back(i-1);//当前队列要么为空，要么队尾前缀和小于su[i-1]
  		if(sum[i]-sum[q.front()]>ans){
  			ans=sum[i]-sum[q.front()];
  			l=q.front()+1;//注意左边界要+1
  			r=i;
  		}
  	}
  	printf("%d %d %d\n",ans,l,r);
  }
  int main(){
  	Solve();
  	return 0;
  }
  

• Code手摸双端队列版，建议大家手写队列

  #include <bits/stdc++.h>
  const int maxn = 1e5+5,Inf=0x3f3f3f3f;
  typedef long long LL;
  int a[maxn<<1],sum[maxn<<1],q[maxn<<1];
  void Solve(){
      int n,k;   
      scanf("%d%d",&n,&k);
      for(int i=1;i<=n;++i){
          scanf("%d",&a[i]);
          sum[i]=sum[i-1]+a[i];
      }
      int ans=-Inf,l,r;
      int head=0,tail=0;
      for(int i=1;i<=n;++i){
          while(head<tail && sum[i-1]<sum[q[tail-1]]) tail--;
          while(head<tail && i-q[head]>k) head++;
          q[tail++]=i-1;//tail指向队尾的后一个位置
          if(sum[i]-sum[q[head]]>ans){
              ans=sum[i]-sum[q[head]];
              l=q[head]+1;
              r=i;
          }
      }
      printf("%d %d %d\n",ans,l,r);
  }
  int main(){
      Solve();
      return 0;
  }
  

• 习题：[HDU-3415](